Comoment

Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

On appelle comoment le produit de deux torseurs. Cette opération est commutative.

Le comoment est un scalaire égal à la somme des produits scalaires de la résultante d'un torseur par le moment de l'autre. Pour pouvoir calculer le comoment de deux torseurs, ceux-ci doivent être exprimés au même point de réduction.

L'expression générale du comoment de deux torseurs M₁ et M₂ est  :

$${\displaystyle {\vec {M}}_{1}\odot {\vec {M}}_{2}={\begin{Bmatrix}\ {\vec {R}}_{1}\\\ {\vec {M}}_{1}(A)\end{Bmatrix}}\odot {\begin{Bmatrix}\ {\vec {R}}_{2}\\\ {\vec {M}}_{2}(A)\end{Bmatrix}}={\vec {R}}_{1}\cdot {\vec {M}}_{2}(A)+{\vec {M}}_{1}(A)\cdot {\vec {R}}_{2}}$$

Il est fréquent de rencontrer la notation ${\displaystyle \{T_{1}\}\otimes \{T_{2}\}}$ pour le comoment de deux torseurs {T₁} et {T₂}. Cependant la notation avec un point cerclé (${\displaystyle \odot }$) est à préférer pour éviter toute confusion avec le produit tensoriel.

Le comoment est notamment utilisé dans le calcul de^[1] :

• l'énergie cinétique de solides indéformables. On fait la moitié du comoment du torseur cinétique et du torseur cinématique : ${\displaystyle E_{c}={\frac {1}{2}}\,{\begin{Bmatrix}{\mathcal {C}}\end{Bmatrix}}\odot {\begin{Bmatrix}{\mathcal {V}}\end{Bmatrix}}={\frac {1}{2}}\,{\begin{Bmatrix}m\,{\vec {V}}\\{\vec {\sigma }}\end{Bmatrix}}_{A}\odot {\begin{Bmatrix}{\vec {\Omega }}\\{\vec {V}}\end{Bmatrix}}_{A}={\frac {1}{2}}\,m\,{\vec {V}}^{2}+{\frac {1}{2}}\,{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {\Omega }}}$ ;
• la puissance instantanée. On fait le comoment du torseur d'effort et du torseur cinématique : ${\displaystyle {\mathcal {P}}={\begin{Bmatrix}{\mathcal {F}}\end{Bmatrix}}\odot {\begin{Bmatrix}{\mathcal {V}}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}{\vec {R}}\\{\vec {M}}\end{Bmatrix}}_{A}\odot {\begin{Bmatrix}{\vec {\Omega }}\\{\vec {V}}\end{Bmatrix}}_{A}={\vec {R}}\cdot {\vec {V}}+{\vec {M}}\cdot {\vec {\Omega }}}$.

L'automoment du torseur {T}, noté A_{T}, est la moitié du comoment de ce torseur par lui-même, soit :

$${\displaystyle A_{\left\{T\right\}}={\frac {1}{2}}\,{\begin{Bmatrix}{\vec {R}}\\{\vec {M}}\end{Bmatrix}}_{A}\odot {\begin{Bmatrix}{\vec {R}}\\{\vec {M}}\end{Bmatrix}}_{A}={\vec {R}}\cdot {\vec {M}}}$$

Remarques :

• l'automoment est nul si et seulement si le torseur est un torseur spécial : un glisseur, un torseur couple ou un torseur nul ;
• l'automoment est invariant dans l'espace.

• Portail des mathématiques
• Portail de la physique
• Portail du génie mécanique