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En mathématiques récréatives, la constante des nombres premiers est le nombre réel
, compris entre 0 et 1, dont le
-ième chiffre binaire après la virgule est 1 si
est premier et 0 si
est composé ou égal à 1.
Description
De façon plus rigoureuse, le développement binaire de
correspond à la fonction caractéristique
de l'ensemble
des nombres premiers :
![{\displaystyle \rho =\sum _{p\in \mathbb {P} }{\frac {1}{2^{p}}}=\sum _{n\in \mathbb {N} ^{*}}{\frac {\chi _{\mathbb {P} }(n)}{2^{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ced1295f95403b661990b336dd41b23b6666204)
Le début du développement décimal de ρ est :
[1]. Le début de son développement binaire est :
[2].
On démontre par l'absurde que
est irrationnel. Pour cela, supposons qu'il est rationnel, c'est-à-dire de développement périodique à partir d'un certain rang, en base b = 10 comme en toute base b entière, en particulier en base deux.
Notons
le
-ième chiffre de ce développement binaire de
. Il existe donc deux entiers
et
tels que
pour tout
.
Pour
et
comme ci-dessus, choisissons un nombre premier
. Alors,
, ce qui est absurde puisque
est composé.
Notes et références
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Prime constant » (voir la liste des auteurs).
- ↑ Suite
A051006 de l'OEIS - ↑ Suite
A010051 de l'OEIS
Bibliographie
- (en) Eric W. Weisstein, « Prime Constant », sur MathWorld
Nombres premiers |
Donnés par une formule | | ![Mathématiques](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg/70px-Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg.png) |
Appartenant à une suite | |
Ayant une propriété remarquable | |
Ayant une propriété dépendant de la base | |
Propriétés mettant en jeu plusieurs nombres | singleton | | n-uplet | - jumeaux (p, p + 2)
- cousins (p, p + 4)
- sexy (p, p + 6)
- triplet (p, p + 2 ou p + 4, p + 6)
- quadruplet (p, p + 2, p + 6, p + 8)
- quintuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8) ou (p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12)
- sextuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12)
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Nombre connexe | |
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Constantes liées aux nombres premiers | |
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