Décomposition cellulaire

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En topologie géométrique, une décomposition cellulaire G d'une variété M est une décomposition de M comme l'union disjointe de cellules (espaces homéomorphes à n-boules B ⁿ ).

L'espace quotient M / G possède des points qui correspondent aux cellules de la décomposition. Il existe une application de M vers M / G, qui est munie de la topologie quotient. Une question fondamentale est de savoir si M est homéomorphe à M / G.

Une décomposition cellulaire de ${\displaystyle X}$ est un recouvrement ouvert de ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$,avec une fonction ${\displaystyle {\text{deg}}:{\mathcal {E}}\to \mathbb {Z} }$ pour qui:

• Les cellules sont disjointes : pour tout ${\displaystyle e,e'\in {\mathcal {E}}}$, ${\displaystyle e\cap e'=\varnothing }$.
• Aucun ensemble n'a pour image un nombre négatif : ${\displaystyle {\text{deg}}^{-1}(\{j\in \mathbb {Z} \mid j\leq -1\})=\varnothing }$.
• Les cellules ressemblent à des boules : pour tout ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ et pour tout ${\displaystyle e\in {\text{deg}}^{-1}(n)}$ il existe une fonction continue ${\displaystyle \phi :B^{n}\to X}$ c'est un isomorphisme ${\displaystyle {\text{int}}B^{n}\cong e}$ et aussi ${\displaystyle \phi (\partial B^{n})\subseteq \bigcup {\text{deg}}^{-1}(n-1)}$.

Un complexe cellulaire est une paire ${\displaystyle (X,{\mathcal {E}})}$ où ${\displaystyle X}$ est un espace topologique et ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ est une décomposition cellulaire de ${\displaystyle X}$.

• Complexe CW

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Cellular decomposition » (voir la liste des auteurs).

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