Déterminant de Cauchy
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En algèbre linéaire, le déterminant de Cauchy est un déterminant classique, qui peut être relié à des problèmes de fractions rationnelles. Son nom est un hommage au mathématicien Augustin Louis Cauchy.
Le déterminant de Cauchy est un déterminant de taille et de terme général , où les complexes et sont tels que pour tout et , est non nul.
Lien avec un problème d'interpolation
On recherche une fraction rationnelle ayant exactement pôles simples, qui sont les , et prenant des valeurs fixées en points distincts des (ce sont les opposés des ).
Si on cherche la fraction rationnelle sous la forme
alors les coefficients inconnus sont solutions d'un système de taille , dont le déterminant est un déterminant de Cauchy.
Calcul du déterminant de Cauchy
- en notant le déterminant de la Matrice de Vandermonde de la famille .
- Multiplier toutes les colonnes par .
- Soustraire la dernière colonne à toutes les autres.
- Factoriser par les termes communs aux lignes et aux colonnes et développer par rapport à la dernière ligne.
On trouve alors la relation de récurrence
On en déduit l'expression générale de .
Stratégie: (valable de manière générale pour le calcul de déterminants «compliqués»)
- Raisonner par récurrence sur la taille du déterminant.
- Faire des opérations élémentaires sur les lignes/colonnes pour faire apparaître une ligne/colonne composée de .
- Soustraire les lignes/colonnes de manière à obtenir une ligne/colonne presque composée uniquement de sauf pour un seul coefficient.
- Développer par rapport à cette dernière et obtenir une relation de récurrence sur le déterminant.
On raisonne par récurrence sur la taille du déterminant .
Premièrement, faisons apparaître une ligne de en multipliant toutes les colonnes par .
Par -linéarité du déterminant,
Ensuite, pour faire apparaître des à la fin des premières colonnes, soustrayons la dernière colonne à toutes les autres.
Factorisons par les termes communs aux lignes et aux colonnes.
Finalement, en développant par rapport à la dernière ligne on trouve la relation de récurrence:
Comme , on obtient par récurrence .
Références
- ↑ Pour une autre méthode, voir X. Gourdon, Les maths en tête. Algèbre et probabilités, Ellipses, (lire en ligne), p. 150 ou J. Franchini et J.-C. Jacquens, Maths, résumé de cours, exercices et travaux dirigés corrigés - MPSI et MP2I, Ellipses, (lire en ligne), p. 232.
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