Les fonctions circulaires réciproques servent à obtenir un angle à partir de l'une quelconque de ses lignes trigonométriques, mais aussi à expliciter les primitives de certaines fonctions. Elles sont largement utilisées dans l'ingénierie, la navigation, la physique et la géométrie.
Noms et symboles
Les noms des fonctions circulaires réciproques sont formés en faisant précéder du mot arc le nom de la fonction circulaire correspondante : arc sinus pour le sinus, arc cosinus pour le cosinus, etc.
Pour noter les fonctions circulaires réciproques on utilise différents symboles :
l'usage le plus répandu est de prendre le symbole de la fonction circulaire et de le faire précéder du préfixe arc- : arcsin(x) pour l'arc sinus de x, arccos(x) pour son arc cosinus, etc. Sauf mention spéciale ces symboles représentent les valeurs principales (cf. infra) ;
dans les langages informatiques ces symboles sont souvent raccourcis en asin, acos, etc. (ou arsin, arcos, etc.) ;
un autre usage consiste à mettre une majuscule initiale au nom de la fonction quand il s'agissait de la valeur principale, et de considérer le symbole sans majuscule comme représentant la fonction réciproque multivaluée. Selon cette notation, Arcsin(x) par exemple est l'angle compris entre –π/2 et +π/2 dont le sinus vaut x, alors que arcsin(x) représente n'importe quel angle dont le sinus vaut x ;
les textes en anglais[1] utilisent souvent les symboles sin−1, cos−1, etc. Cette notation, introduite par John Herschel en 1813[2], est cohérente avec la composition des fonctions (la fonction réciproque d'une fonction f est souvent appelée inverse de f et notée f−1), mais elle ne l'est pas avec l'usage d'écrire sin2(x) et sin3(x) pour signifier [sin(x)]2 et [sin(x)]3 : on risque de confondre sin−1(x) avec [sin(x)]−1 c'est-à-dire 1/sin(x).
Propriétés fondamentales
Déterminations principales
Les fonctions circulaires n'étant pas injectives, leurs fonctions réciproques sont a priori multivaluées. Pour définir univoquement ces fonctions réciproques on doit restreindre chaque fonction circulaire à un intervalle sur lequel elle est bijective (branche principale). La fonction réciproque correspondante est appelée détermination principale.
Dans les formules ci-dessous, k désigne un entier quelconque.
ou, en une seule formule :
ou, en une seule formule :
ou, en une seule formule :
ou, en une seule formule :
Démonstration
Chacune des fonctions sinus, cosinus, sécante et cosécante est périodique de période 2π et prend deux fois chaque valeur sur une même période. Chacune des fonctions tangente et cotangente est périodique de période π et prend une fois chaque valeur sur une même période.
Le sinus est bijectif sur l'intervalle , donc sur cet intervalle . Il est symétrique par rapport à l'argument π/2 (c'est-à-dire, sin(π–y) = sin(y)), donc sur l'intervalle . En regroupant ces deux résultats on voit que sur l'intervalle . Le sinus est périodique de période 2π, donc finalement .
Le cosinus est bijectif sur l'intervalle [0 ; π], donc sur cet intervalle . Il est symétrique par rapport à l'argument π (c'est-à-dire, ), donc sur l'intervalle . En regroupant ces deux résultats on voit que sur l'intervalle [0 ; 2π]. Le cosinus est périodique de période 2π, donc finalement .
Pour la sécante, le raisonnement est le même que pour le cosinus.
Pour la cosécante, le raisonnement est le même que pour le sinus.
La tangente est bijective sur l'intervalle , donc sur cet intervalle . Elle est périodique de période π, donc finalement .
Pour la cotangente, le raisonnement est le même que pour la tangente.
Relations entre fonctions circulaires et fonctions circulaires réciproques
Le tableau ci-dessous indique le résultat des fonctions circulaires appliquées aux fonctions circulaires réciproques. On retrouve facilement ces valeurs en considérant un triangle rectangle dont un côté a la longueur x (n'importe quel nombre réel compris entre 0 et 1) et l'autre est de longueur unité[c].
Diagramme
Relations des fonctions circulaires réciproques entre elles
Graphe cartésien des valeurs principales d'arcsin(x) (en rouge) et d'arccos(x) (en bleu), en fonction de x.Graphe cartésien des valeurs principales d'arctan(x) (en rouge) et d'arccot(x) (en bleu), en fonction de x.Graphe cartésien des valeurs principales d'arcsec(x) (en rouge) et d'arccsc(x) (en bleu), en fonction de x.
Angles complémentaires
Arguments opposés
Arguments inverses
Autres formules
Les formules ci-dessous sont utiles, soit quand on dispose d'une table incomplète (par exemple, pour la première, quand la table ne liste que des arguments inférieurs à ½), soit pour simplifier des formules obtenues lors d'un calcul de primitives (quand on rencontre l'un des seconds membres indiqués).
On obtient bien les formules indiquées en posant, soit x = sin(θ), soit x = cos(θ), soit x = tan(θ) (alors θ égale, soit arcsin(x), soit arccos(x), soit arctan(x)).
Pour développer en série les autres fonctions circulaires réciproques il suffit d'utiliser leurs relations (voir supra) : arccos(x) = π/2 – arcsin(x), arccsc(x) = arcsin(1/x), etc..
Un développement du carré de l'arc sinus est[3] :
.
Un autre développement de l'arc tangente, plus efficace numériquement que la série entière, a été obtenu par Euler[d] :
.
On peut donner une variante du développement précédent :
Dans les expressions ci-dessus la valeur absolue (|•|) est due au signe variable de l'arc sécante et de l'arc cosécante, et la fonction signe (sgn) aux valeurs absolues des dérivées de ces deux fonctions, ce qui conduit à des expressions différentes selon le signe de x. On peut simplifier ces formules en faisant appel aux fonctions hyperboliques réciproques :
Démonstrations
On obtient les primitives ci-dessus par la méthode d'intégration par parties. Par exemple pour l'arc sinus :
La coupure entre le feuillet principal et les autres feuillets est constituée par les deux demi-droites portant les imaginaires purs de module supérieur ou égal à 1.
La coupure de l'arc sinus est constituée par les deux demi-droites portant les réels de valeur absolue supérieure ou égale à 1. L'arc cosinus a la même coupure que l'arc sinus, et l'arc cotangente la même que l'arc tangente. L'arc sécante et l'arc cosécante ont pour coupure le segment réel [−1 ; +1].
Formes logarithmiques
Les fonctions circulaires réciproques peuvent être exprimées sous la forme de logarithmes complexes :
le domaine image d'atan2 est [–π , π] alors que celui de l'arc tangente est [–π/2 , π/2] : atan2(–y,–x) et atan2(y,x) diffèrent de π alors que . Plus généralement, atan2 donne l'angle polaire en un seul calcul alors qu'aucune des fonctions circulaires réciproques ne le fait ;
quand x = 0 la fonction atan2 prend la valeur π/2 ou –π/2 (selon le signe de y) alors que la plupart des langages informatiques ne permettent pas de coder un argument infini. Plus généralement, atan2(y,x) se comporte bien numériquement quand |x| << |y| alors que ce n'est pas le cas de arctan(y/x).
les termes Fi (éléments simples de première espèce) s'intègrent directement (le résultat mêle fonctions rationnelles et logarithmes) ;
par un changement de variable simple (linéaire) x → u, chaque terme de seconde espèce se ramène à l'intégration de et/ou de :
s'intègre directement (le résultat est une fonction rationnelle ou un logarithme),
l'intégration de implique l'arc tangente :
,
,
, etc.
Primitive d'une fonction où interviennent des radicaux
Pour intégrer une fonction comportant le radical√1 – x2, l'une des pistes consiste à prendre pour nouvelle variableθ = arcsin(x) :
x = sin(θ), donc et : le radical a disparu.
Pour intégrer une fonction comportant le radical √1 +x2, l'une des pistes consiste à prendre pour nouvelle variable θ = arctan(x) :
x = tan(θ), donc et : le radical a disparu.
Plus généralement :
pour se débarrasser du radical on peut poser ;
pour se débarrasser du radical on peut poser .
Notes et références
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Inverse trigonometric functions » (voir la liste des auteurs).
Notes
↑La logique de cette dénomination est la suivante : l'arc sinus de x est l'arc (l'angle) dont le sinus est x.
↑ a et bCertains auteurs définissent le domaine image de l'arc sécante comme (0 ≤ y < π/2 ou π ≤ y < 3π/2 ), parce que la fonction tangente est non-négative dans ce domaine. Cette définition rend certains calculs plus cohérents. On obtient par exemple tan(arcsec(x)) = √x2 − 1, alors qu'avec le domaine image (0 ≤ y < π/2 ou π/2 < y ≤ π) on doit écrire tan(arcsec(x)) = ±√x2 − 1, vu que la tangente est non-négative sur 0 ≤ y < π/2 mais non-positive sur π/2 < y ≤ π. Pour la même raison, ces mêmes auteurs définissent le domaine image de l'arc cosécante comme −π < y ≤ −π/2 ou 0 < y ≤ π/2.
↑On retrouve aussi ces résultats par un calcul algébrique, mais c'est plus long.
↑(en) Arthur Graham Hall et Fred Goodrich Frink, chap. II « The Acute Angle [14] Inverse trigonometric functions », dans Trigonometry, Ann Arbor, Michigan, USA, Henry Holt and Company / Norwood Press / J. S. Cushing Co. - Berwick & Smith Co., Norwood, Massachusetts, USA, (lire en ligne), I: Plane Trigonometry, p. 15.
↑(en) John Frederick William Herschel, « On a remarkable Application of Cotes's Theorem », Philosophical Transactions, Londres, Royal Society, vol. 103, no 1, , p. 8 (lire en ligne).
↑Voir (en) Jonathan Borwein, David Bailey et Roland Gingersohn, Experimentation in Mathematics : Computational Paths to Discovery, Wellesley, MA, A K Peters, , 368 p. (ISBN978-1-4398-6419-7, lire en ligne), p. 51 (exercice 16, sur la formule de Clausen (en)) ou, plus simplement, cet exercice corrigé sur Wikiversité.