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Les trois premières fonctions de Bessel sphérique de première espèce jn (x ) Les trois premières fonctions de Bessel sphérique de deuxième espèce yn (x ) En analyse, les fonctions de Bessel sphériques sont des fonctions spéciales construites à partir des fonctions de Bessel classiques et qui interviennent dans certains problèmes possédant une symétrie sphérique .
Elles sont définies par :
j n ( x ) = π 2 x J n + 1 2 ( x ) , {\displaystyle j_{n}(x)={\sqrt {\pi \over 2x}}J_{n+{1 \over 2}}(x),} y n ( x ) = π 2 x Y n + 1 2 ( x ) = ( − 1 ) n + 1 π 2 x J − n − 1 2 ( x ) . {\displaystyle y_{n}(x)={\sqrt {\pi \over 2x}}Y_{n+{1 \over 2}}(x)=(-1)^{n+1}{\sqrt {\pi \over 2x}}J_{-n-{\frac {1}{2}}}(x).} En particulier, j 0 {\displaystyle j_{0}} correspond à la fonction sinus cardinal :
j 0 ( x ) = s i n c ( x ) = sin ( x ) x . {\displaystyle j_{0}(x)={\rm {sinc}}(x)={\sin(x) \over x}.} On peut également définir, sur le même principe, les fonctions de Hankel sphériques :
h n ( 1 ) ( x ) = π 2 x H n + 1 2 ( 1 ) ( x ) = j n ( x ) + i y n ( x ) , {\displaystyle h_{n}^{(1)}(x)={\sqrt {\pi \over 2x}}H_{n+{1 \over 2}}^{(1)}(x)=j_{n}(x)+{\rm {i}}y_{n}(x),} h n ( 2 ) ( x ) = π 2 x H n + 1 2 ( 2 ) ( x ) = j n ( x ) − i y n ( x ) . {\displaystyle h_{n}^{(2)}(x)={\sqrt {\pi \over 2x}}H_{n+{1 \over 2}}^{(2)}(x)=j_{n}(x)-{\rm {i}}y_{n}(x).}
Propriétés On peut définir les fonctions de Bessel sphériques par la formule de Rayleigh :
j n ( x ) = ( − x ) n ( 1 x d d x ) n sin ( x ) x , {\displaystyle j_{n}(x)=(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)^{n}{\sin(x) \over x},} y n ( x ) = − ( − x ) n ( 1 x d d x ) n cos ( x ) x . {\displaystyle y_{n}(x)=-(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)^{n}{\cos(x) \over x}.} Les fonctions génératrices des fonctions de Bessel sphériques sont :
∑ n = 0 + ∞ t n n ! j n − 1 ( x ) = cos ( x 2 − 2 x t ) x , {\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}j_{n-1}(x)={\frac {\cos({\sqrt {x^{2}-2xt}})}{x}},} ∑ n = 0 + ∞ ( − t ) n n ! y n − 1 ( x ) = sin ( x 2 + 2 x t ) x . {\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-t)^{n}}{n!}}y_{n-1}(x)={\frac {\sin({\sqrt {x^{2}+2xt}})}{x}}.} Ces fonctions sont les solutions de la partie radiale de l'équation de Helmholtz en coordonnées sphériques , obtenue par séparation des variables :
x 2 d 2 y d x 2 + 2 x d y d x + ( x 2 − n ( n + 1 ) ) y = 0. {\displaystyle x^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+2x{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+(x^{2}-n(n+1))y=0.}
Articles connexes
Liens externes (en) Eric W. Weisstein, « Spherical Bessel Function of the First Kind », sur MathWorld (en) Eric W. Weisstein, « Spherical Bessel Function of the Second Kind », sur MathWorld Portail de l'analyse