Fonction maximale de Hardy-Littlewood

En mathématiques et plus particulièrement en analyse, la fonction maximale de Hardy-Littlewood est un opérateur qui associe à toute fonction localement intégrable f en tout point x sur ℝⁿ comme étant la borne supérieure des valeurs moyennes de |f| sur les boules centrées en x. La notion de fonction maximale est intervenue pour la première fois dans un article publié en 1930 par Godfrey Harold Hardy et John Edensor Littlewood^[1].

Formulation

À toute fonction localement intégrable $f\in \mathrm {L} _{\text{loc}}^{1}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ on peut associer la fonction maximale de Hardy-Littlewood $Mf:\mathbb {R} ^{n}\to [0,+\infty ]$ définie par

Mf(x)=\sup _{r>0}{\frac {1}{\lambda _{n}\left(B(x,r)\right)}}\int _{B(x,r)}|f(t)|\,\mathrm {d} \lambda _{n}(t)

où B(x, r) désigne la boule de ℝⁿ centrée en x et de rayon r > 0 et λ_n désigne la mesure de Lebesgue sur ℝⁿ.

Propriétés

La fonction maximale de Hardy-Littlewood associée à toute fonction localement intégrable est semi-continue inférieurement.

Démonstration

Il suffit de montrer que chacune des fonctions

x\mapsto {\frac {1}{\lambda _{n}\left(B(x,r)\right)}}\int _{B(x,r)}|f(t)|\mathrm {d} \lambda _{n}(t)

(pour r > 0 fixé) est semi-continue inférieurement, autrement dit, que

x\mapsto \int _{B(x,r)}|f(t)|\mathrm {d} \lambda _{n}(t)=\int 1_{B(x,r)}(t)|f(t)|\,\mathrm {d} \lambda _{n}(t)

l'est.

Or cette application est même continue, par convergence dominée.

Cette fonction Mf n'est jamais intégrable, sauf si f = 0. Il existe même f intégrable telle que Mf ne soit pas localement intégrable^[2].

Inégalité maximale de Hardy-Littlewood

Pour toute application intégrable f sur ℝⁿ et tout réel c > 0, on a $\lambda _{n}\left([Mf\geq c]\right)\leq 3^{n}{\frac {\|f\|_{1}}{c}}$ (donc Mf est finie presque partout).
Pour toute fonction réelle croissante F sur un intervalle réel [a , b] on a, de façon analogue^{[réf. souhaitée]} $\lambda _{1}\left([G\geq c]\right)\leq 2{\frac {F(b)-F(a)}{c}},{\text{ pour }}G(x)=\sup _{h\neq 0 \atop x+h\in [a,b]}{\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}.$
Pour toute fonction réelle croissante continue F sur [a , b], $\lambda _{1}\left([G\geq c]\right)\leq {\frac {F(b)-F(a)}{c}},$ pour G étant l'une des quatre dérivées de Dini de F.

Démonstrations

Première inégalité.
Quitte à passer ensuite à la limite quand d → c^–, il suffit de montrer que $\forall d>0,\lambda _{n}\left([Mf>d]\right)\leq 3^{n}\|f\|_{1}/d$ et pour cela, par régularité intérieure, de montrer que pour tout compact K inclus dans [Mf > d], $\lambda _{n}(K)\leq 3^{n}\|f\|_{1}/d.$ Pour tout point x de K, il existe un rayon r_x > 0 tel que ${\frac {1}{\lambda _{n}\left(B(x,r_{x})\right)}}\int _{B(x,r_{x})}|f(t)|\mathrm {d} \lambda _{n}(t)>d.$ Par compacité, K est recouvert par un nombre fini de telles boules et l'on peut, d'après le lemme de recouvrement de Vitali dans le cas fini, choisir parmi elles des boules $\left(B(x,r_{x})\right)_{x\in X}$ disjointes telles que $K\subset \bigcup _{x\in X}B(x,3r_{x}).$ On a alors : $\lambda _{n}\left(K\right)\leq \lambda _{n}\left(\bigcup _{x\in X}B(x,3r_{x})\right)\leq \sum _{x\in X}\lambda _{n}\left(B(x,3r_{x})\right)=3^{n}\sum _{x\in X}\lambda _{n}\left(B(x,r_{x})\right)\leq {\frac {3^{n}}{d}}\sum _{x\in X}\int _{B(x,r_{x})}|f(t)|\mathrm {d} \lambda _{n}(t)\leq {\frac {3^{n}\|f\|_{1}}{d}}$ car les boules sont disjointes.
Deuxième inégalité.
En procédant comme pour la première, il suffit de montrer que pour tout d > 0 et tout compact K inclus dans [ G > d ], $\lambda (K)\leq 2(F(b)-F(a))/d.$ Pour tout point x de K, il existe un réel h_x non nul tel que ${\frac {F(x+h_{x})-F(x)}{h_{x}}}>d.$ Notons alors, pour ε > 0 fixé, J_x l'intervalle fermé d'extrémités x + h_x et x – εh_x (choisi ainsi pour qu'il contienne x + h_x et soit un voisinage de x).
Par compacité, K est recouvert par une famille finie $(J_{x})_{x\in X}$ et l'on peut même, en enlevant des J_x superflus, supposer qu'un point n'appartient jamais à plus de deux d'entre eux (car si trois intervalles ont un point commun, l'un des trois est inclus dans la réunion des deux autres). On a alors : $\lambda (K)\leq \sum _{x\in X}\lambda (J_{x})=(1+\varepsilon )\sum _{x\in X}|h_{x}|\leq {\frac {1+\varepsilon }{d}}\sum _{x\in X}|F(x+h_{x})-F(x)|\leq {\frac {1+\varepsilon }{d}}2(F(b)-F(a)),$ la dernière inégalité étant due à la croissance de F et au fait que les J_x se chevauchent au plus par deux. Ainsi, $\forall \varepsilon >0,\lambda (K)\leq 2(1+\varepsilon )(F(b)-F(a))/d\quad {\text{donc}}\quad \lambda (K)\leq 2(F(b)-F(a))/d.$
La troisième inégalité peut se démontrer à l'aide du lemme du soleil levant^[3] et se généraliser en utilisant le théorème de recouvrement de Vitali^[4].

Applications

Généralisation au cas des mesures de Borel

En gardant les notations précédentes, on peut associer à toute mesure de Borel μ sur ℝⁿ la fonction maximale Mμ définie par :

M\mu (x)=\sup _{r>0}{\frac {\mu \left(B(x,r)\right)}{\lambda _{n}\left(B(x,r)\right)}}.

La propriété de semi-continuité inférieure et, si μ est finie, l'inégalité maximale, sont alors encore vraies et se démontrent de la même manière.

Notes et références

↑ (en) G. H. Hardy et J. E. Littlewood, « A maximal theorem with function-theoretic applications », Acta Mathematica, vol. 54,‎ 1930, p. 81–116.
↑ (en) Frank Jones, Lebesgue Integration on Euclidean Space, Jones & Bartlett, 2001, 2^e éd., 588 p. (ISBN 978-0-7637-1708-7, lire en ligne), p. 451-452.
↑ (en) Terence Tao, An Introduction to Measure Theory, Providence, AMS, 2011, 206 p. (ISBN 978-0-8218-6919-2, lire en ligne), p. 130-131.
↑ (en) Andrew M. Bruckner (en), Judith B. et Brian S. Thomson, Real Analysis, 1997, 713 p. (ISBN 978-0-13-458886-5, lire en ligne), p. 264-266.

Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions]
Henri Lebesgue, Leçons sur la théorie de l'intégration et la recherche de fonctions primitives, Paris, Gauthier-Villars, 1928, 2^e éd., 342 p. (ISBN 2-87647-059-4)