Graphe biparti
En théorie des graphes, un graphe est dit biparti si son ensemble de sommets peut être divisé en deux sous-ensembles disjoints et tels que chaque arête ait une extrémité dans et l'autre dans .
Un graphe biparti permet notamment de représenter une relation binaire.
Caractérisation
Il existe plusieurs façons de caractériser un graphe biparti.
- Par le nombre chromatique
- Les graphes bipartis sont les graphes dont le nombre chromatique est inférieur ou égal à 2.
- Par la longueur des cycles
- Un graphe est biparti si et seulement s'il ne contient pas de cycle impair[1].
Supposons qu'un graphe est décomposé en deux partitions et telles que toute arête relie un sommet de à un sommet de . Considérons un cycle quelconque. Ce cycle passe alternativement par les deux parties et avant de rejoindre le sommet de départ et a donc une longueur paire.
La réciproque est quelque peu plus dure à démontrer. Supposons que l'on ait un graphe qui ne comporte que des cycles de longueur paire. Pour simplifier, supposons également que est connexe (si jamais il ne l'était pas, on pourrait raisonner individuellement sur chaque composante connexe).
Comme est connexe, il possède un arbre couvrant . Notons une racine de cet arbre. Créons deux ensembles de sommets et de la manière suivante :
- contient et tous les sommets de se trouvant à un nombre pair d'arêtes de ;
- contient les sommets de se trouvant à un nombre impair d'arêtes de .
Les ensembles de sommets et sont disjoints et contiennent tous les sommets de . Cela ne suffit cependant pas à montrer que est biparti : en effet, rien ne garantit a priori que l'on n'ait pas une arête « en trop » de qui relie deux sommets de , par exemple.
Considérons deux sommets et de dans une même partie ( ou ) et reliés par une arête . Le chemin qui relie à dans est forcément de longueur paire, par construction de et de . Si l'on ajoute l'arête , on obtient un cycle de longueur impaire, ce qui est interdit par hypothèse.
Il n'est donc pas possible d'avoir de tels sommets et reliés en « court-circuit ». Toutes les arêtes du graphe relient des sommets de à des sommets de , ce qui achève de montrer que est biparti.
- Par le spectre
- Si un graphe est biparti, alors son spectre vérifie la propriété suivante[2] :
- Si est une valeur propre de la matrice d'adjacence du graphe, alors en est aussi une, avec la même multiplicité que celle de .
- Par les polyèdres
- Un graphe est biparti si et seulement si son polytope des stables est décrit par les contraintes de clique de taille 2.
Graphes bipartis particuliers
Les graphes suivants sont bipartis : le graphe vide, les arbres, les cycles de longueurs paires, les hypercubes et les grilles.
De plus, on définit les graphes bipartis suivants :
- Un graphe biparti est dit biparti complet (ou encore est appelé une biclique) si chaque sommet de est relié à chaque sommet de .
- Un graphe biparti est dit birégulier si tous les sommets de ont le même degré, et si tous les sommets de ont le même degré.
- Les graphes bipartis de Kneser sont une famille de graphes bipartis permettant de décrire des relations d'inclusion entre ensembles.
- 110-graphe de Iofinova-Ivanov
Notes et références
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Bipartite graph » (voir la liste des auteurs).
- ↑ (en) Armen S. Asratian, Tristan M. J. Denley et Roland Häggkvist, « Bipartite Graphs and their Applications », Cambridge Tracts in Mathematics, Cambridge University Press, vol. 131, (ISBN 9780521593458), Théorème 2.1.3, p. 8. Les auteurs attribuent cette caractérisation à Dénes Kőnig dans un article de 1916.
- ↑ (en) Norman Biggs, Algebraic Graph Theory, Cambridge University Press, , 2e éd., 205 p. (ISBN 978-0-521-45897-9, lire en ligne), p. 53.
Voir aussi
Articles connexes
- Théorème de Kőnig
- Théorème de Graham-Pollak
- Graphe scindé
- Portail des mathématiques
- Portail de l'informatique théorique