Groupe de Baumslag-Solitar

Une « feuille » du graphe de Cayley du groupe de Baumslag-Solitar BS(2, 1). Les arêtes bleues correspondent à a et les rouges à b.
Les feuilles du graphe de Cayley du groupe de Baumslag-Solitar BS(2, 1) assemblées en un arbre binaire infini.

En mathématiques et notamment en théorie des groupes, les groupes de Baumslag-Solitar sont des exemples de groupes à deux générateurs et un relateur qui jouent un rôle important dans la théorie combinatoire des groupes et en théorie géométrique des groupes comme exemples ou contre-exemples.

Définition

Les groupes de Baumslag-Solitar BS(m, n) sont définis, pour toute paire m , n {\displaystyle m,n} d'entiers relatifs, par la présentation

BS ( m , n ) = ⟨ a , b ∣ a − 1 b m a = b n ⟩ {\displaystyle {\text{BS}}(m,n)=\left\langle a,b\mid a^{-1}b^{m}a=b^{n}\right\rangle } .

où la notation signifie que le groupe est le quotient du groupe libre engendré par les générateurs a et b par le sous-groupe distingué engendré par a − 1 b m a b − n {\displaystyle a^{-1}b^{m}ab^{-n}} .

Divers groupes BS(m, n) sont bien connus. Ainsi BS(1, 1) est le groupe abélien libre sur deux generateurs, et BS(1, −1) est le groupe fondamental de la bouteille de Klein.

Les groupes ont été définis par Gilbert Baumslag et Donald Solitar en 1962[1] en vue de fournir des exemples de groupes non hopfiens. Ils comprennent des groupes résiduellement finis, des groupes hopfiens qui ne sont pas résiduellement finis, et des groupes non hopfiens.

Propriétés

  • BS ( m , n ) {\displaystyle {\text{BS}}(m,n)} est résiduellement fini si et seulement si | m | = | n | {\displaystyle |m|=|n|} ou | m | = 1 {\displaystyle |m|=1} ou | n | = 1 {\displaystyle |n|=1} [2].
  • BS ( m , n ) {\displaystyle {\text{BS}}(m,n)} est hopfien si et seulement s’il est résiduellement fini ou si m {\displaystyle m} et n {\displaystyle n} ont même ensemble de diviseurs premiers. Il est relativement simple de prouver qu’un groupe finiment engendré et résiduellement fini est hopfien.

Le plus connu des groupes est BS ( 2 , 3 ) = ⟨ a , b ∣ a − 1 b 2 a = b 3 ⟩ {\displaystyle {\text{BS}}(2,3)=\left\langle a,b\mid a^{-1}b^{2}a=b^{3}\right\rangle } . Il n'est pas hopfien ; l’application a → a , b → b 2 {\displaystyle a\to a,b\to b^{2}} est en effet un épimorphisme qui n’est pas un isomorphisme. Il est en effet facile de vérifier que ( b − 1 a − 1 b a ) ( b − 1 a − 1 b a ) b − 1 {\displaystyle (b^{-1}a^{-1}ba)(b^{-1}a^{-1}ba)b^{-1}} est dans le noyau du morphisme puisque son image est ( b − 2 a − 1 b 2 a ) 2 b − 2 = ( b − 2 b 3 ) 2 b − 2 = 1 {\displaystyle (b^{-2}a^{-1}b^{2}a)^{2}b^{-2}=(b^{-2}b^{3})^{2}b^{-2}=1} .

Les groupes de Baumslag-Solitar se répartissent en trois familles : ceux qui sont résiduellement finis, ceux qui sont hopfiens sans être résiduellement finis et ceux qui ne sont pas hopfiens. La différence est plus marquée en fonction des paramètres : ceux pour lesquels | m | = 1 {\displaystyle |m|=1} ou | n | = 1 {\displaystyle |n|=1} d'une part, et ceux pour lesquels | m | , | n | ≠ 1 {\displaystyle |m|,|n|\neq 1} d'autre part.

Le cas m = 1

Pour un groupe

BS ( 1 , n ) = ⟨ a , b ∣ a − 1 b a = b n ⟩ {\displaystyle {\text{BS}}(1,n)=\left\langle a,b\mid a^{-1}ba=b^{n}\right\rangle }

il y a un homomorphisme évident sur le groupe cyclique infini en posant b = 1 {\displaystyle b=1} , et on peut montrer que son noyau est isomorphe au groupe additif des nombres rationnels n {\displaystyle n} -adiques. Ainsi, ces groupes sont métabéliens et ont des propriétés de structure fortes ; en particulier, ils n’ont pas de sous-groupe libre de rang 2. De plus, les éléments de ces groupes possèdent des formes normales particulièrement simples : tout élément est représenté de manière unique sous la forme a i b k a − j {\displaystyle a^{i}b^{k}a^{-j}} , avec i , j ≥ 0 {\displaystyle i,j\geq 0} et si de plus i , j > 0 {\displaystyle i,j>0} , alors k {\displaystyle k} n’est pas divisible par n {\displaystyle n} . Quand | m | , | n | ≠ 1 {\displaystyle |m|,|n|\neq 1} , il existe toujours une forme normale parce que les groupes de Baumslag-Solitar sont des exemples, et de fait les exemples les plus simples, d’extensions HNN. Il en résulte la propriété suivante :

Soit w {\displaystyle w} un mot librement réduit de BS ( m , n ) {\displaystyle {\text{BS}}(m,n)} qui représente l’élément unité. Alors w {\displaystyle w} a un facteur de la forme a − 1 b k a {\displaystyle a^{-1}b^{k}a} avec m | k {\displaystyle m|k} , ou a b k a − 1 {\displaystyle ab^{k}a^{-1}} avec n | k {\displaystyle n|k} .

Ceci démontre que, dans BS ( 2 , 3 ) {\displaystyle {\text{BS}}(2,3)} , le mot

b − 1 a − 1 b a b − 1 a − 1 b a b − 1 {\displaystyle b^{-1}a^{-1}bab^{-1}a^{-1}bab^{-1}}

ne représente pas l’unité, et peut aussi servir à montrer que, lorsque | m | , | n | ≠ 1 {\displaystyle |m|,|n|\neq 1} , alors BS ( m , n ) {\displaystyle {\text{BS}}(m,n)} contient un sous-groupe libre de rang deux.

Notes et références

  1. ↑ Gilbert Baumslag et Donald Solitar, « Some two-generator one-relator non-Hopfian groups », Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 68,‎ , p. 199-201 (MR 0142635, lire en ligne, consulté le ).
  2. ↑ Stephen Meskin, « Non-residually finite one-relator groups », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 64,‎ , p. 105–114 (MR 285589).

Bibliographie

  • Michaël Cadilhac, Dmitry Chistikov et Georg Zetzsche, « Rational Subsets of Baumslag-Solitar Groups », dans Artur Czumaj Anuj Dawar Emanuela Merelli (éditeurs), Actes de ICALP 2020, Schloss Dagstuhl - Leibniz-Zentrum für Informatik, coll. « LIPIcs » (no 168), (DOI 10.4230/LIPIcs.ICALP.2020.116, arXiv 2006.11898 (version détaillée), lire en ligne), p. 116:1-116:16
  • Margot Bouette, Sur la croissance des automorphismes des groupes de Baumslag-Soliltar, Thèse, université de Rennes I, (lire en ligne).
  • (en) Donald J. Collins, « Baumslag–Solitar group », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)

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