En mathématiques, l'inégalité d'Hermite–Hadamard, nommé d'après Charles Hermite et Jacques Hadamard, parfois appelée inégalité de Hadamard, dit que si une fonction f:[a,b]→ℝ est convexe, alors son intégrale est bornée par :
Preuve
Si la fonction f est convexe sur un intervalle, elle y est continue, mais aussi dérivable à gauche et à droite en chaque point. On note f− et f+ ces dérivées respectivement. Ainsi, pour chaque x0 ∈ [a,b], on peut construire une ligne
telle que
On a, en particulier, pour x0=a+b/2 :
D'autre part, toujours par convexité de f, on a :
Il suffit alors de calculer les intégrales des deux fonctions affines :
Généralisation par les intégrales itérées
On considère f:[a, b] → ℝ une fonction réelle intégrable. On peut définir la suite de fonctions suivante d'intégrales itérées de f, pour a ≤ s ≤ b.:
Alors si f est convexe, pour a < xi < b, i = 1, ..., n, distincts deux à deux (xi ≠ xj et i ≠ j), alors on a:
avec
L'inégalité change de sens si f est concave.
Le cas d'égalité est vérifié si et seulement si f est linéaire.
On a également : avec pour alors
Références
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hermite–Hadamard inequality » (voir la liste des auteurs).
Zoltán Retkes, "An extension of the Hermite–Hadamard Inequality", Acta Sci. Math. (Szeged), 74 (2008), pages 95–106.
Mihály Bessenyei, "The Hermite–Hadamard Inequality on Simplices", American Mathematical Monthly, volume 115, April 2008, pages 339–345.
Flavia-Corina Mitroi, Eleutherius Symeonidis, "The converse of the Hermite-Hadamard inequality on simplices", Expo. Math. 30 (2012), pp. 389–396. DOI:10.1016/j.exmath.2012.08.011; (ISSN0723-0869)