L'inégalité de Kolmogorov[1], due à Andreï Kolmogorov, est une étape essentielle de sa démonstration de la loi forte des grands nombres, un des principaux théorèmes de la théorie des probabilités. C'est l'étape où il utilise l'hypothèse d'indépendance (et, sans le dire, la notion de temps d'arrêt).
Énoncé
Remarques :
- est une conséquence immédiate de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. La présence du sup rend l'inégalité beaucoup plus précise, donc plus difficile à démontrer.
Démonstration
Si
, l'inégalité est vérifiée. Dans la suite, on suppose que
On pose
On remarque alors que, pour
,
En effet
, alors que
Ainsi pour deux boréliens quelconques
et
, les deux évènements
appartiennent aux tribus
et
, respectivement. Ils sont donc indépendants en vertu du lemme de regroupement, ce qui implique bien
. On a
où la troisième inégalité s'obtient en développant le carré en deux termes carrés (dont l'un est supprimé pour minorer l'expression précédente) et un double produit (de deux variables indépendantes, en vertu de
). L'égalité suivante tient à ce que
est centrée (comme somme de v.a. centrées), et la dernière inégalité découle de la définition du temps d'arrêt
: par définition, au temps
, on a
. En faisant tendre
vers l'infini on obtient
C.Q.F.D.
Notes
- ↑ On peut en trouver l'énoncé, la démonstration et le contexte, page 248 du livre de P. Billingley, Probability and measure, Wiley, 1re édition, 1979.
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