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En mathématiques, l’inégalité de Schur, portant le nom du mathématicien Issaï Schur, est une inégalité concernant les nombres réels.
Énoncé
Soit des nombres réels strictement positifs et un réel quelconque, alors[1] :
avec égalité si et seulement si sont égaux.
Démonstration
Quitte à permuter les variables, on peut supposer .
Si :
Le cas d'égalité s'obtient bien pour .
Si :
Le cas d'égalité s'obtient aussi pour .
Cas particulier
Dans le cas , l'inégalité de Schur se réécrit sous les formes suivantes [1]:
(développer )
La deuxième forme, dans le cas où sont les longueurs des côtés d'un triangle, s'écrit, compte tenu de la formule de Héron : où est l'aire du triangle.
Et compte tenu des expressions des formules des rayons des cercles circonscrit et inscrit : et , l'inégalité de Schur est donc équivalente à l'inégalité d'Euler : .
Notes et références
↑ a et bMohammed Aassila, 100 chalenges mathématiques, Analyse, Ellipses, , p. 286-287