Lemme de Barbalat

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Le lemme de Barbalat est un résultat d'analyse démontré par le mathématicien roumain Ion Barbălat en 1959[1]. Il est parfois utilisé dans l'étude des équations différentielles.

Énoncé

Lemme de Barbălat — Soit f : R → R {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } une fonction uniformément continue dont l'intégrale sur R {\displaystyle \mathbb {R} } (au sens de Riemann) converge.

Alors lim x → ± ∞ f ( x ) = 0 {\displaystyle {\underset {x\to \pm \infty }{\lim }}f(x)=0} .

Démonstration

Soit ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} . Par continuité uniforme de f {\displaystyle f}  :

∃ δ > 0 ∀ x , y ∈ R ( | x − y | ≤ δ ⟹ | f ( x ) − f ( y ) | ≤ ε ) {\displaystyle \exists \delta >0\quad \forall x,y\in \mathbb {R} \quad \left(|x-y|\leq \delta \implies |f(x)-f(y)|\leq \varepsilon \right)} .

Pour un tel δ {\displaystyle \delta } , puisque l'intégrale de f {\displaystyle f} sur R {\displaystyle \mathbb {R} } converge :

∃ A ∈ R ∀ x ∈ R ( | x | ≥ A ⟹ | ∫ x x + δ f ( t ) d t | ≤ ε δ ) {\displaystyle \exists A\in \mathbb {R} \quad \forall x\in \mathbb {R} \quad \left(|x|\geq A\implies \left|\int _{x}^{x+\delta }f(t)\,\mathrm {d} t\right|\leq \varepsilon \delta \right)} .

On en déduit :

∀ x ∈ R ( | x | ≥ A ⟹ δ | f ( x ) | = | ∫ x x + δ f ( x ) d t | ≤ ∫ x x + δ | f ( x ) − f ( t ) | d t + | ∫ x x + δ f ( t ) d t | ≤ 2 ε δ ) {\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad \left(|x|\geq A\implies \delta |f(x)|=\left|\int _{x}^{x+\delta }f(x)\,\mathrm {d} t\right|\leq \int _{x}^{x+\delta }|f(x)-f(t)|\,\mathrm {d} t+\left|\int _{x}^{x+\delta }f(t)\,\mathrm {d} t\right|\leq 2\varepsilon \delta \right)}

donc

∀ x ∈ R ( | x | ≥ A ⟹ | f ( x ) | ≤ 2 ε ) {\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad \left(|x|\geq A\implies |f(x)|\leq 2\varepsilon \right)} .

Contre-exemple

Le triangle centré en k {\displaystyle k} est d'aire 1 k 2 {\displaystyle {\frac {1}{k^{2}}}} .

L'hypothèse d'uniforme continuité est essentielle, même si la fonction est positive. En effet, si l'on considère la fonction affine par morceaux f définie par :

∀ k ⩾ 2 ∀ x ∈ [ k − 1 k 3 , k ] f ( x ) = k 4 ( x − k + 1 k 3 )  et  ∀ x ∈ [ k , k + 1 k 3 ] f ( x ) = − k 4 ( x − k − 1 k 3 ) {\displaystyle \forall k\geqslant 2\quad \forall x\in \left[k-{\frac {1}{k^{3}}},k\right]\quad f(x)=k^{4}\left(x-k+{\frac {1}{k^{3}}}\right){\text{ et }}\forall x\in \left[k,k+{\frac {1}{k^{3}}}\right]\quad f(x)=-k^{4}\left(x-k-{\frac {1}{k^{3}}}\right)}

et f est nulle ailleurs, la fonction f est bien intégrable, car : ∫ − ∞ + ∞ | f ( t ) | d t = ∑ k = 1 + ∞ 1 k 2 < + ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }|f(t)|\,\mathrm {d} t=\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {1}{k^{2}}}<+\infty } .

Or, f {\displaystyle f} ne tend pas vers 0 {\displaystyle 0} en + ∞ {\displaystyle +\infty } (elle n'est même pas bornée).

Références

  1. ↑ I. Barbălat, « Systèmes d’équations différentielles d’oscillations non linéaires », Rev. Roumaine Math. Pures Appl., vol. 4,‎ , p. 267-270.
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