Le lemme de Hadamard est un résultat de calcul différentiel très utile pour trouver des modèles locaux de fonctions différentiables. Il est utilisé par exemple dans la preuve du lemme de Morse.
Énoncé
Soit
une fonction de classe
avec
. Alors pour tout
, il existe des fonctions
, de classe
telles que pour tout
,
Démonstration
On a
(second théorème fondamental de l'analyse).
Mais
(théorème de dérivation des fonctions composées).
Le résultat s'ensuit, avec
qui est
en raison du théorème de dérivation sous le signe somme (règle de Leibniz).
Remarques
- On a nécessairement
. - Les fonctions
ne sont pas uniques.
Applications
Par application du lemme, on peut justifier que pour toute fonction lisse f telle que f(0) = 0, la fonction qui à x associe f(x)/x est lisse et bien définie. Par exemple, le sinus cardinal est bien défini.
Voir aussi
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