Lemme de Schwarz
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Ne doit pas être confondu avec Théorème de Schwarz ou Lemme de Schwartz-Zippel.
Le lemme de Schwarz est un lemme d'analyse complexe, donnant des contraintes sur les fonctions holomorphes du disque unité dans lui-même. Il ne faut pas le confondre avec un autre résultat d'analyse complexe, le principe de réflexion de Schwarz (en).
Énoncé
Soit une fonction holomorphe dans le disque ouvert D de centre 0 et de rayon 1, et telle que :
- .
Alors on a :
Si, de plus, il existe un élément non nul de D vérifiant , ou bien si , alors il existe un nombre complexe de module 1 tel que pour tout appartenant à .
Preuve
La preuve[1] est une application directe du principe du maximum.
Appliquons le principe du maximum à la fonction
holomorphe sur D (l'holomorphie en 0 provient du fait que f(0) = 0 et du fait que f est développable en série entière). Pour tout r < 1, si Dr = {z : |z| ≤ r} désigne le disque fermé de rayon r > 0 centré en l'origine, la fonction |g| sur Dr atteint son maximum en un point du bord de Dr. Étant donné z appartenant à D, il existe donc, pour tout r ∈ ]|z|, 1[, un complexe zr de module r tel que
- .
Lorsque , on obtient .
Supposons maintenant que |f(z0)| = |z0| pour z0 non nul dans D, ou supposons que |f′(0)| = 1. Alors, |g(z0)| = 1 ou |g(0)| = 1 par définition de g. Ainsi, par le principe du maximum, g(z) est égale à une constante a
avec |a| = 1. Finalement, f(z) = az, comme voulu.
Lemme de Schwarz-Pick
Une variante du lemme de Schwarz est le lemme de Schwarz-Pick[2], nommé en l'honneur de Georg Pick, permettant de déterminer les automorphismes analytiques du disque unité[3] :
Soit f : D → D une fonction holomorphe. Alors, pour tout z1, z2 ∈ D,
et, pour tout z ∈ D,
- .
La preuve du lemme de Schwarz-Pick est une conséquence du lemme de Schwarz et du fait qu'une transformation de Möbius de la forme
envoie le disque unité dans lui-même. Fixons z1 et posons
où M et φ sont des transformations de Möbius. Puisque M(z1) = 0 et que la transformation de Möbius est inversible, la composée φ(f(M−1(z))) envoie 0 sur 0 et le disque unité dans lui-même. Ainsi, on peut appliquer le lemme de Schwarz, ce qui nous donne
.
Maintenant, en posant z2 = M−1(z) (qui appartient au disque unité), on arrive à l'inégalité voulue :
- .
Afin de prouver la seconde partie, divisons par |z1 – z2| l'inégalité obtenue
.
En faisant tendre z2 vers z1, on obtient la seconde inégalité du lemme.
L'expression
est une distance au sens de la métrique de Poincaré. Le lemme de Schwarz-Pick nous donne que toute fonction holomorphe du disque unité dans lui-même réduit la distance entre deux points au sens de la métrique de Poincaré. Si l'égalité a lieu dans l'une des deux inégalités du lemme (ce qui est équivalent à dire que l'application holomorphe f préserve la distance dans la métrique de Poincaré), alors f est un automorphisme analytique, donné par une transformation de Möbius envoyant le disque unité vers lui-même.
Un énoncé équivalent sur le demi-plan de Poincaré H peut être fait :
Soit f : H → H une fonction holomorphe. Alors, pour tout, z1, z2 ∈ H,
- .
C'est une conséquence directe du lemme de Schwarz-Pick : en utilisant le fait qu'une transformation de Cayley W(z) = (z − i)/(z + i) est une application conforme envoyant le demi-plan supérieur H vers le disque unité D, on obtient que l'application W ∘ f ∘ W−1 est holomorphe et envoie D sur D. En appliquant le lemme de Schwarz-Pick à la fonction W ∘ f ∘ W−1 et en utilisant l'expression explicite de W, on arrive au résultat voulu. De même, pour tout z ∈ H,
- .
Si l'égalité a lieu pour l'une de deux inégalités précédentes, alors f est une transformation de Möbius à coefficients réels, c'est-à-dire
avec a, b, c, d ∈ R, et ad − bc > 0.
Bibliographie
- Michèle Audin, Géométrie, EDP Sciences, 2006
- Henri Cartan, Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes [détail de l’édition]
- Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions]
Notes et références
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