Pour une catégorie et une classe de morphismes , la localisation de par rapport à est la catégorie universelle où tous les morphismes de sont inversibles.
Plus précisément, la localisation de par rapport à est la donnée d'une catégorie et d'un foncteur tel que
pour tout , est inversible dans
et tel que pour toute catégorie et foncteur satisfaisant
pour tout , est inversible dans
il existe un unique foncteur tel que . Cette propriété garantit l'unicité (à isomorphisme près) de la localisation, si elle existe.
Construction
Catégories de zig-zags
Si est un ensemble de morphismes, il est possible de construire une localisation de par rapport à [1] :
les objets de sont les mêmes que ceux de
les morphismes entre deux objets et sont des classes d'équivalence de « zig-zags » dans :
avec et des morphismes quelconques de . Un tel « zig-zag » représente la composée .
Calcul des fractions (à gauche)
Une classe de morphismes admet un calcul des fractions à gauche si
il contient les morphismes identités : ,
il est stable par composition : ,
tout diagramme dans , avec peut être complété en un carré commutatif, avec :
,
pour tous morphismes parallèles tel qu'il existe tel que , alors il existe tel que .
Si admet un calcul des fractions, alors la localisation de par rapport à existe et admet une présentation simple[2] :
les objets de sont les mêmes que ceux de ;
les morphismes entre deux objets et sont des classes d'équivalence de diagrammes dans de la forme :
avec et des morphismes quelconques de . Un tel diagramme représente la composée ;
deux tels diagrammes et sont équivalents s'il existe et tels que
et .
Cette relation d'équivalence est similaire à celle intervenant dans la construction du corps des fractions ou, plus généralement, dans une localisation d'un anneau commutatif.
Exemples et applications
La catégorie homotopique associée à un modèle de Quillen est sa localisation par rapport aux équivalences faibles.
Étant donné un espace topologique , la catégorie des faisceaux peut être obtenue comme une certaine localisation de la catégorie des préfaisceaux [3], tel que la faisceautisation soit le foncteur de localisation.
La localisation d'un anneau commutatif est un cas particulier de localisation d'une catégorie, où les anneaux sont vus comme des catégories (préadditive) à un seul objet.
Références
↑(en) Francis Borceux, Handbook of Categorical Algebra, vol. 1 : Basic Category Theory, Cambridge University Press, (lire en ligne).
↑(en) Pierre Gabriel et Michel Zisman, Calculus of Fractions and Homotopy Theory, Berlin Heidelberg, Springer, (lire en ligne).
↑(en) Masaki Kashiwara et Pierre Schapira (mathématicien), Categories and Sheaves, Springer, (lire en ligne).