Moments de Hausdorff
En mathématiques, le problème des moments de Hausdorff est celui des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une suite (mn) de réels soit la suite des moments
d'une mesure de Borel sur le segment [0, 1].
Le nom du problème est associé au mathématicien allemand Felix Hausdorff.
Dans le cas m0 = 1, ceci équivaut à l'existence d'une variable aléatoire réelle X dans l'intervalle [0, 1] telle que pour tout n, l'espérance de Xn soit égale à mn.
Ce problème est voisin du problème des moments de Stieljes défini sur l'intervalle , celui de Toeplitz sur et celui de Hamburger sur mais à la différence de ceux-ci, la solution, si elle existe, est unique.
Il a été étendu aux espaces bidimensionnels[1] et aux suites tronquées[2].
Séries monotones
Hausdorff a montré[3],[4] qu'il existe une solution si et seulement si la suite (mn) est complètement monotone, c'est-à-dire si ses suites de différences satisfont
pour tout n, k ≥ 0, où Δ est l'opérateur différence finie donné par
Une telle condition est nécessaire, en effet
- .
Par exemple
- .
L'unicité de se déduit du théorème d'approximation de Weierstrass :
Si deux mesures (positives) sur ont mêmes moments (finis), leur différence est une mesure bornée de moments nuls, si bien que pour tout polynôme , . Par densité des polynômes dans les fonctions continues sur (pour la norme uniforme), il en résulte que pour toute fonction continue continue sur , , autrement dit .
Suite tronquée
Les problèmes d'approximation en physique conduisent à l'usage de suites tronquées . Dans ce cas, si l'on définit les matrices de Hankel suivantes
la condition nécessaire et suffisante d'existence sur est[2]
- pour
- pour
Références
- ↑ (en) James Alexander Shohat et Jacob Tamarkin, The Problem of Moments, AMS, coll. « Mathematical Surveys and Monographs » (no 1), (ISBN 0-8218-1501-6, lire en ligne).
- ↑ a et b (en) M. G. Krein et A. A. Nudelman (trad. du russe), The Markov Moment Problem and Extremal Problems, AMS, coll. « Transl. Math. Monographs » (no 50), , cités par (en) Raul E. Curto et Lawrence A. Fialkow, « Recursiveness, Positivity, and Truncated Moment Problems », Houston Journal of Mathematics, vol. 17, no 4, (lire en ligne).
- ↑ (de) F. Hausdorff, « Summationsmethoden und Momentfolgen. I. », Mathematische Zeitschrift, vol. 9, , p. 74-109.
- ↑ (de) F. Hausdorff, « Summationsmethoden und Momentfolgen. II. », Mathematische Zeitschrift, vol. 9, , p. 280-299.
Voir aussi
Ouvrages
- (en) William Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, vol. 2, John Wiley & Sons,
- (en) Naum Akhiezer (trad. du russe par N. Kemmer), The Classical Moment Problem and Some Related Questions in Analysis, New York, Hafner Publishing,
Article connexe
Méthode des moments (physique statistique)
Portail de l'analyse