Point d'Apollonius d'un triangle

En géométrie euclidienne, le point Apollonius d'un triangle est un centre du triangle noté X(181) dans l'Encyclopédie des centres de triangle (ETC) de Clark Kimberling. Il est défini comme le point de concours des trois droites joignant un sommet du triangle au point de contact entre le cercle exinscrit opposé et le cercle d'Apollonius tangent extérieurement aux trois cercles exinscrits.

La solution du problème des cercles d’Apollonius est connue depuis des siècles. Mais le point d'Apollonius n'a été découvert qu'en 1987 ^[1]^,^[2].

Définition

Considérons les cercles exinscrits E_A, E_B, E_C d'un triangle ABC opposés aux sommets A, B, C respectivement. Soient

A',B',C'

les points de contact du cercle E tangent extérieurement aux trois cercles exinscrits E_A, E_B, E_C . Les droites

(AA'),(BB'),(CC')

sont concourantes et leur point de concours est appelé le point d'Apollonius de ABC .

Une démonstration se trouve dans ^[3].

Le problème d'Apollonius consiste en la construction d'un cercle tangent à trois cercles donnés dans un plan. En général, il y a huit cercles solutions. Le cercle E mentionné dans la définition ci-dessus est l'un des huit cercles tangents aux trois cercles exinscrits du triangle ABC. Dans l'Encyclopédie des centres de triangle, le cercle E est appelé le cercle d'Apollonius de ABC.

Coordonnées trilinéaires

Les coordonnées trilinéaires homogènes du point Apollonius sont données par ^[1]

${\begin{array}{ccccc}&\displaystyle {\Bigl (}{\frac {a(b+c)^{2}}{b+c-a}}:\displaystyle {\frac {b(c+a)^{2}}{c+a-b}}:\displaystyle {\frac {c(a+b)^{2}}{a+b-c}}{\Bigr )}\\[4pt]=&{\Bigl (}\sin ^{2}\!A\,\cos ^{2}{\frac {B-C}{2}}:\sin ^{2}\!B\,\cos ^{2}{\frac {C-A}{2}}:\sin ^{2}\!C\,\cos ^{2}{\frac {A-B}{2}}{\Bigr )}\end{array}}$

Voir aussi

Cercles d'Apollonius

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Apollonius Point », sur MathWorld

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Apollonius point » (voir la liste des auteurs).

↑ ^{a et b} (en) Clark Kimberling, « Apollonius point » (consulté le 3 septembre 2024)
↑ C. Kimberling, Shiko Iwata et Hidetosi Fukagawa, « Problem 1091 and Solution », Crux Mathematicorum, vol. 13,‎ 1987, p. 217–218
↑ Patrice Debart, « Cercle et point d'Apolllonius » (consulté le 2 septembre 2024)

v · m Triangles
Description	Sommet Apex Côté Angle Base
Types	Triangle équilatéral Triangle isocèle Triangle d'or Triangle rectangle Angle droit Cathète Hypoténuse Triangle de Kepler Triangle obtusangle Triangle acutangle Triangle isocèle rectangle Triangle pseudo-rectangle Triangle scalène Triangle de Héron
Points remarquables (Nombre de Kimberling)	Centres : Centre du cercle inscrit Centre de gravité Centre du cercle circonscrit Orthocentre Centre du cercle d'Euler Centre du cercle de Spieker Points de Brocard Points de Feuerbach Point de Fermat ou Point de Torricelli Point de Longchamps Point de Miquel Point de Gergonne Point de Nagel Point de Vecten Points isogonaux Points isodynamiques Point de Lemoine Points de Terquem Points de Napoléon Mittenpunkt
Droites remarquables	Cévienne Hauteur Médiane Bissectrice Médiatrice Droite de Brocard Droite d'Euler Droite de Lemoine Droite de Newton Droite de Simson (ou droite de Wallace) Droite de Steiner Ménélienne Symédiane Axe orthique Droite centrale
Cercles remarquables	Cercle circonscrit Cercle exinscrit Cercle inscrit Cercle d'Euler Cercle d'Apollonius Cercles de Lemoine Cercle de Longchamps Cercle de Miquel Cercle de Taylor Cercle de Tucker Cercle podaire Cercle de Brocard Cercle de Spieker Cercle de Fuhrmann Cercles de Johnson Cercle pédal
Triangles remarquables	Triangle de Bevan Triangle de Feuerbach Triangle de Gergonne Triangle de Morley Triangle de Nagel Triangle inscrit de périmètre minimal (Problème de Fagnano) Triangle médian Triangle orthique Triangle podaire Triangle tangentiel Triangle de Fuhrmann
Courbes remarquables	Deltoïde de Steiner Coniques Conique inscrite de Serret (ou de MacBeath) Conique orthique Hyperbole de Kiepert Paraboles Parabole tritangente Parabole de Kiepert Ellipses Ellipse de Mandart Ellipse de Steiner Coniques circonscrites et inscrites à un triangle Cubiques
Théorèmes	Théorème de Pythagore Théorème de Thalès Théorème de Napoléon Théorème japonais de Carnot Théorème de Ménélaüs Théorème de Morley Théorème de Nagel Théorème de Neuberg Théorème de Hamilton Théorème d'Euler Théorème de Feuerbach Théorème de Viviani Avec des céviennes Théorème de Ceva Théorème de Gergonne Théorème de Stewart Théorème de Terquem Théorème de Routh Théorème de Jacobi Avec des cercles Théorème des six cercles Théorème des trois cercles de Miquel
Relations entre triangles	Triangles isométriques Triangles semblables Inégalités dans le triangle
Résolution	Loi des cosinus Loi des sinus Loi des tangentes Loi des cotangentes Aire Formule de Héron