où la fonction génératrice est composée des séries :
avec ;
avec tous les ;
avec .
Dans les conditions ci-dessus, il n'est pas difficile de montrer que est polynôme de degré.
Cas particuliers
Le choix de donne la classe des polynômes de Brenke.
Le choix de donne la suite des polynômes de Sheffer.
Le choix simultané de et de donne la suite des polynômes d'Appell au sens strict.
Représentation explicite
Les polynômes d'Appell généralisés ont la représentation explicite
.
Le coefficient est
où la somme s'étend à toutes les « partitions au sens large » de n en k + 1 parties, c'est-à-dire à tous les (k + 1) uplets j d'entiers positifs ou nuls de somme n.
Pour les polynômes d'Appell, cette formule devient :
.
Relations de récurrence
De manière équivalente, une condition nécessaire et suffisante pour que le noyau puisse être écrit comme avec est que
Dans le cas particulier des polynômes de Brenke, on a et donc tous les sont nuls, ce qui simplifie considérablement la relation de récurrence.
Crédit d'auteurs
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Generalized Appell polynomials » (voir la liste des auteurs).
Bibliographie
(en) Ralph P. Boas, Jr. et R. Creighton Buck, Polynomial Expansions of Analytic Functions, New York/Berlin, Academic Press/Springer-Verlag, , 2e éd.
(en) William C. Brenke, « On generating functions of polynomial systems », Amer. Math. Month., vol. 52, , p. 297-301
(en) W. N. Huff, « The type of the polynomials generated by f(xt) φ(t) », Duke Math. J., vol. 14, , p. 1091-1104