Polynômes de Bernoulli En mathématiques , les polynômes de Bernoulli apparaissent dans l'étude de beaucoup de fonctions spéciales et en particulier, la fonction zêta de Riemann ; des polynômes analogues, correspondant à une fonction génératrice voisine, sont connus sous le nom de polynômes d'Euler .
Les polynômes de Bernoulli sont l'unique suite de polynômes ( B n ) n ∈ N {\displaystyle \left(B_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}
B 0 = 1 {\displaystyle B_{0}=1} ∀ n ∈ N , B n + 1 ′ = ( n + 1 ) B n {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,B'_{n+1}=(n+1)B_{n}} ∀ n ∈ N ∗ , ∫ 0 1 B n ( x ) d x = 0 {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*},\int _{0}^{1}B_{n}(x)dx=0}
La fonction génératrice pour les polynômes de Bernoulli est
t e x t e t − 1 = ∑ n = 0 ∞ B n ( x ) t n n ! {\displaystyle {\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}} La fonction génératrice pour les polynômes d'Euler est
2 e x t e t + 1 = ∑ n = 0 ∞ E n ( x ) t n n ! {\displaystyle {\frac {2e^{xt}}{e^{t}+1}}=\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}}
Les nombres de Bernoulli sont donnés par B n = B n ( 0 ) {\displaystyle B_{n}=B_{n}(0)}
Les nombres d'Euler sont donnés par E n = 2 2 n E 2 n ( 1 / 2 ) {\displaystyle E_{n}=2^{2n}E_{2n}(1/2)}
Expressions explicites pour les petits ordres
Les polynômes de Bernoulli et d'Euler obéissent à beaucoup de relations du calcul ombral utilisé par Édouard Lucas, par exemple.
B n ( x + 1 ) − B n ( x ) = n x n − 1 {\displaystyle B_{n}(x+1)-B_{n}(x)=nx^{n-1}\,} E n ( x + 1 ) + E n ( x ) = 2 x n {\displaystyle E_{n}(x+1)+E_{n}(x)=2x^{n}\,}
B n ′ ( x ) = n B n − 1 ( x ) {\displaystyle B_{n}'(x)=nB_{n-1}(x)\,} E n ′ ( x ) = n E n − 1 ( x ) {\displaystyle E_{n}'(x)=nE_{n-1}(x)\,}
Translations B n ( x + y ) = ∑ k = 0 n ( n k ) B k ( x ) y n − k {\displaystyle B_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{k}(x)y^{n-k}} E n ( x + y ) = ∑ k = 0 n ( n k ) E k ( x ) y n − k {\displaystyle E_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}E_{k}(x)y^{n-k}}
B n ( 1 − x ) = ( − 1 ) n B n ( x ) {\displaystyle B_{n}(1-x)=(-1)^{n}B_{n}(x)} E n ( 1 − x ) = ( − 1 ) n E n ( x ) {\displaystyle E_{n}(1-x)=(-1)^{n}E_{n}(x)} ( − 1 ) n B n ( − x ) = B n ( x ) + n x n − 1 {\displaystyle (-1)^{n}B_{n}(-x)=B_{n}(x)+nx^{n-1}} ( − 1 ) n E n ( − x ) = − E n ( x ) + 2 x n {\displaystyle (-1)^{n}E_{n}(-x)=-E_{n}(x)+2x^{n}}
∀ n ∈ N , B n ( x ) = 2 n − 1 ( B n ( x 2 ) + B n ( x + 1 2 ) ) {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,B_{n}(x)=2^{n-1}\left(B_{n}\left({\frac {x}{2}}\right)+B_{n}\left({\frac {x+1}{2}}\right)\right)} ∀ p ∈ N , ∀ n ∈ N , ∑ k = 0 n k p = B p + 1 ( n + 1 ) − B p + 1 ( 0 ) p + 1 {\displaystyle \forall p\in \mathbb {N} ,\forall n\in \mathbb {N} ,\sum _{k=0}^{n}k^{p}={\frac {B_{p+1}(n+1)-B_{p+1}(0)}{p+1}}} Cette dernière égalité, déduite de la formule de Faulhaber, vient de l'égalité : ∫ x x + 1 B n ( t ) d t = x n {\displaystyle \int _{x}^{x+1}B_{n}(t)\,\mathrm {d} t=x^{n}} somme télescopique
∑ k = 0 n ( B m ( k + 1 ) − B m ( k ) ) = B m ( n + 1 ) − B m ( 0 ) {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\left(B_{m}(k+1)-B_{m}(k)\right)=B_{m}(n+1)-B_{m}(0)} .
Les nombres B n = B n ( 0 ) {\displaystyle B_{n}=B_{n}(0)}
∀ n > 1 , B n ( 0 ) = B n ( 1 ) {\displaystyle \forall n>1,\quad B_{n}(0)=B_{n}(1)} Les nombres de Bernoulli de rang impair différent de 1 sont nuls :
∀ p ∈ N ∗ B 2 p + 1 ( 0 ) = B 2 p + 1 ( 1 ) = 0 {\displaystyle \forall p\in \mathbb {N} ^{*}\quad B_{2p+1}(0)=B_{2p+1}(1)=0} ∀ p ∈ N B 2 p + 1 ( 1 2 ) = 0 {\displaystyle \forall p\in \mathbb {N} \quad B_{2p+1}\left({\frac {1}{2}}\right)=0} ∀ p ∈ N B 2 p ( 1 2 ) = ( 1 2 2 p − 1 − 1 ) B 2 p {\displaystyle \forall p\in \mathbb {N} \quad B_{2p}\left({\frac {1}{2}}\right)=\left({\frac {1}{2^{2p-1}}}-1\right)B_{2p}}
La série de Fourier des polynômes de Bernoulli est aussi une série de Dirichlet , donnée par le développement[ 1]
B n ( x ) = − n ! ( 2 π i ) n ∑ k ∈ Z k ≠ 0 e 2 π i k x k n = − n ! ∑ k = 1 ∞ e 2 π i k x + ( − 1 ) n e − 2 π i k x ( 2 π i k ) n = − 2 n ! ∑ k = 1 ∞ cos ( 2 k π x − n π 2 ) ( 2 k π ) n {\displaystyle B_{n}(x)=-{\frac {n!}{(2\pi \mathrm {i} )^{n}}}\sum _{k\in \mathbb {Z} \atop k\neq 0}{\frac {\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} kx}}{k^{n}}}=-n!\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} kx}+(-1)^{n}\mathrm {e} ^{-2\pi \mathrm {i} kx}}{(2\pi \mathrm {i} k)^{n}}}=-2\,n!\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2k\pi x-{\frac {n\pi }{2}}\right)}{(2k\pi )^{n}}}} valide seulement pour 0 ≤ x ≤ 1 lorsque n ≥ 2 et pour 0 < x < 1 lorsque n = 1.
C'est un cas particulier de la formule de Hurwitz .
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé
« Bernoulli polynomials » (voir la liste des auteurs) .
↑ (en) Tsuneo Arakawa, Tomoyoshi Ibukiyama et Masanobu Kaneko, Bernoulli Numbers and Zeta Functions , Springer, 2014 (lire en ligne) , p. 61
Voir aussi
Bibliographie (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun , Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables[détail de l’édition] (lire en ligne) (en) Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory , 1976, Springer-Verlag, New York, chap. 12.11
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