Polynôme de Bernstein-Sato

En mathématiques, le polynôme de Bernstein-Sato est une construction mathématique qui facilite l'étude de certaines intégrales ou opérateurs différentiels^[1],[2]. Il tient son nom des mathématiciens Joseph Bernstein et Mikio Satō, qui l'ont découvert en 1971 et 1972^[3],[4]. Ce polynôme joue un rôle important dans l'étude des équations aux dérivées partielles et est intimement lié à la construction des D-modules^[5]. Enfin, il permet de démontrer la régularité de certaines constructions de physique quantique des champs^[6],[7].

L'introduction des polynômes de Bernstein-Sato était initialement motivée par un problème posé par Israel Gelfand au congrès international des mathématiciens de 1954, à Amsterdam : si ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ est une fonction analytique réelle, alors on peut construire pour tout complexe ${\displaystyle s}$ l'objet ${\displaystyle f_{+}^{s}(x)={\boldsymbol {1}}_{f(x)>0}f(x)^{s}}$. En tant que fonction, ${\displaystyle f_{+}^{s}}$ est continue selon ${\displaystyle x}$ et analytique en ${\displaystyle s}$, là où ${\displaystyle s}$ est de partie réelle positive. Gelfand demande alors : peut-on prolonger analytiquement ${\displaystyle f_{+}^{s}}$ à tout le plan complexe ?

C'est pour répondre à cette question que Sato a introduit le polynôme ${\displaystyle b}$, dont Bernstein a montré l'existence en général^[8].

La construction a depuis été étendue à des variétés algébriques générales^[9] et plusieurs algorithmes sont connus pour déterminer les polynômes de Bernstein-Sato dans des cas d'intérêt^[10],[11].

On se place dans l'algèbre de Weyl ${\displaystyle A_{n}(k)}$, la sous-algèbre de ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{k}(k[x_{1},\dotsc ,x_{n}])}$ engendrée par ${\displaystyle x_{1},\dotsc ,x_{n},\partial _{1},\dotsc ,\partial _{n}}$, où ${\displaystyle \partial _{i}}$ est la dérivation par rapport à ${\displaystyle x_{i}}$. On utilise la notation multi-indicielle ${\displaystyle x^{\boldsymbol {\alpha }}=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}}$ et ${\displaystyle \partial ^{\boldsymbol {\beta }}=\partial _{1}^{\beta _{1}}\cdots \partial _{n}^{\beta _{n}}}$. Alors la famille ${\displaystyle \{x^{\boldsymbol {\alpha }}\partial ^{\boldsymbol {\beta }}\}}$ est une base de ${\displaystyle A_{n}(k)}$. On définit alors la filtration de Bernstein ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ par :

${\displaystyle F_{i}=\left\{\sum _{{\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}}a_{{\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}}x^{\boldsymbol {\alpha }}\partial ^{\boldsymbol {\beta }}\colon |{\boldsymbol {\alpha }}|+|{\boldsymbol {\beta }}|\leq i\right\}.}$

L'anneau gradué associé est commutatif, et isomorphe à un anneau de polynômes sur ${\displaystyle k}$ donc noethérien.

Soit ${\displaystyle \lambda }$ une indéterminée formelle, et ${\displaystyle P\in k[x]}$ un polynôme non nul. Alors il existe un polynôme non nul ${\displaystyle b\in k[\lambda ]}$ et un élément ${\displaystyle Q(\lambda ,x,\partial )\in A_{n}(k)[\lambda ]}$ tels que l'égalité suivante est vérifiée : ${\displaystyle b(\lambda )P^{\lambda }=Q(\lambda ,x,\partial )\cdot P^{\lambda +1}}$.

L'ensemble des ${\displaystyle b(\lambda )}$ qui satisfont cette égalité forme un idéal de ${\displaystyle k[\lambda ]}$ ; cet idéal est principal et possède un générateur ${\displaystyle b_{0}}$, qui est appelé polynôme de Bernstein-Sato du polynôme ${\displaystyle P}$.

• Considérons le polynôme ${\displaystyle P=x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}$ (qui correspond au calcul du carré de la norme euclidienne). On a ${\displaystyle \Delta P(x)^{\lambda +1}=4(\lambda +1)(\lambda +n/2)P(x)^{\lambda }}$ de sorte que le polynôme de Bernstein-Sato de ${\displaystyle P}$ est ${\displaystyle (\lambda +1)(\lambda +n/2)}$.
• Considérons l'intégrale ${\displaystyle \Gamma _{f}(\lambda )=\int _{\mathbb {R} }x^{2\lambda }f(x)\,\mathrm {d} x}$, avec ${\displaystyle f}$ une fonction ${\displaystyle C^{\infty }}$qui s'annule aux infinis. En intégrant par parties, on obtient ${\displaystyle (2\lambda +1)(2\lambda +2)\int x^{2\lambda }f(x)\,\mathrm {d} x=\int x^{2\lambda +1}f''(x)\,\mathrm {d} x}$ qui montre notamment que ${\displaystyle \Gamma _{f}}$ est une intégrale bien définie et holomorphe (pour ${\displaystyle \operatorname {Re} \lambda >0}$) et qu'elle admet un prolongement méromorphe à ${\displaystyle \mathbb {C} }$, avec des pôles dans ${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\mathbb {N} }$. On reconnaît en fait la présence du polynôme de Bernstein-Sato de ${\displaystyle x^{2}}$ calculé précédemment : ${\displaystyle (\lambda +1)(\lambda +1/2)}$.
• Il s'agit d'un phénomène général : l'intégrale de l'exemple précédent, où ${\displaystyle x^{2}}$ est remplacé par un polynôme quelconque, donne lieu à une équation fonctionnelle similaire. Elle sera donc prolongeable au plan complexe de manière méromorphe, et les pôles correspondent aux zéros du polynôme de Bernstein-Sato moins un entier.
• Soit ${\displaystyle P=x_{1}^{2}+x_{2}^{3}}$, alors le polynôme de Bernstein-Sato correspondant est ${\displaystyle (\lambda +1)\left(\lambda +{\frac {5}{6}}\right)\left(\lambda +{\frac {7}{6}}\right)}$.

• Tous les polynômes de Bernstein sont scindés sur ${\displaystyle \mathbb {Q} }$^[12].
• Le polynôme de Bernstein-Sato montre qu'un polynôme peut être inversé par une distribution tempérée, d'où on tire le théorème de Malgrange-Ehrenpreis.

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