Principe de Harnack

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En analyse complexe, le principe de Harnack est un théorème concernant la convergence de fonctions harmoniques.

Si les fonctions ${\displaystyle u_{1}(z)}$, ${\displaystyle u_{2}(z)}$, ... sont harmoniques sur un ouvert connexe ${\displaystyle G}$ du plan complexe C, et

${\displaystyle u_{1}(z)\leq u_{2}(z)\leq ...}$

en tout point ${\displaystyle z}$ de ${\displaystyle G}$, alors la limite

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }u_{n}(z)}$

est soit infinie en chaque point du domaine de définition ${\displaystyle G}$, soit finie en chaque point de ce domaine. Dans les deux cas, la convergence est uniforme sur chaque sous-ensemble compact de ${\displaystyle G}$. Dans le second cas, la fonction

${\displaystyle u(z)=\lim _{n\to \infty }u_{n}(z)}$

est harmonique sur ${\displaystyle G}$.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Harnack's principle » (voir la liste des auteurs).
• Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions], p. 222

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