Probabilité a posteriori
Dans le théorème de Bayes, la probabilité a posteriori désigne la probabilité recalculée ou remesurée qu'un évènement ait lieu en prenant en considération une nouvelle information. Autrement dit, la probabilité a posteriori est la probabilité qu'un évènement A ait lieu étant donné que l'évènement B a eu lieu. Elle s'oppose à la probabilité a priori dans l'inférence bayésienne.
Définition
La loi a priori qu'un évènement ait lieu avec vraisemblance est . La probabilité a posteriori se définit comme :
- [1]
La probabilité a posteriori peut s'écrire : [2]
Calcul
La distribution d'une probabilité a posteriori d'une variable aléatoire étant donné la valeur d'une autre peut être calculée avec le théorème de Bayes en multipliant la distribution de la probabilité a priori par la fonction de vraisemblance, et ensuite divisé par la constante de normalisation, tel que :
ce qui donne la fonction de densité a posteriori d'une variable aléatoire étant donné que et où :
- est la densité antérieure de ,
- est la fonction de vraisemblance de ,
- est la constante de normalisation, et
- la densité postérieure de sachant .
Distributions continues et discrètes
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Fairytale_warning.png/17px-Fairytale_warning.png)
Articles connexes
- Inférence bayésienne
- Probabilité a priori
- Probabilité conditionnelle
- Statistique bayésienne
- Fonction de vraisemblance
- Théorème de Bayes
Notes et références
Notes
Références
Bibliographie
- Rubin, Donald B., Gelman, Andrew, John B. Carlin et Stern, Hal, Bayesian Data Analysis, Boca Raton, Chapman & Hall/CRC, , 2nd éd. (ISBN 978-1-58488-388-3, MR 2027492)
- James O. Berger, Statistical decision theory and Bayesian analysis, Berlin, Springer-Verlag, (ISBN 978-0-387-96098-2, MR 0804611)
- James O. Berger et William E. Strawderman, « Choice of hierarchical priors: admissibility in estimation of normal means », Annals of Statistics, vol. 24, no 3, , p. 931–951 (DOI 10.1214/aos/1032526950, MR 1401831, zbMATH 0865.62004)
- Jose M. Bernardo, « Reference Posterior Distributions for Bayesian Inference », Journal of the Royal Statistical Society, Series B, vol. 41, no 2, , p. 113–147 (JSTOR 2985028, MR 0547240)
- James O. Berger, José M. Bernardo et Dongchu Sun, « The formal definition of reference priors », Annals of Statistics, vol. 37, no 2, , p. 905–938 (DOI 10.1214/07-AOS587, Bibcode 2009arXiv0904.0156B, arXiv 0904.0156)
- Edwin T. Jaynes, « Prior Probabilities », IEEE Transactions on Systems Science and Cybernetics, vol. 4, no 3, , p. 227–241 (DOI 10.1109/TSSC.1968.300117, lire en ligne, consulté le )
- réimprimé dans Rosenkrantz, Roger D., E. T. Jaynes: papers on probability, statistics, and statistical physics, Boston, Kluwer Academic Publishers, , 116–130 p. (ISBN 978-90-277-1448-0)
- Edwin T. Jaynes, Probability Theory: The Logic of Science, Cambridge University Press, (ISBN 978-0-521-59271-0, lire en ligne)
- Jon Williamson, « review of Bruno di Finetti. Philosophical Lectures on Probability », Philosophia Mathematica, vol. 18, no 1, , p. 130–135 (DOI 10.1093/philmat/nkp019, lire en ligne [archive du ], consulté le )
- Tony Lancaster, An Introduction to Modern Bayesian Econometrics, Oxford, Blackwell, (ISBN 1-4051-1720-6)
- Peter M. Lee, Bayesian Statistics : An Introduction, Wiley, , 3rd éd. (ISBN 0-340-81405-5)
Portail des mathématiques