Problème des quatre quatre
Le problème des quatre quatre, parfois appelé « puzzle des quatre quatre », est un problème récréatif arithmétique : « Quels sont les entiers naturels que l'on peut écrire en utilisant quatre fois le chiffre quatre et les opérations usuelles ? »
Genèse
Le jeu est mentionné pour la première fois dans l'ouvrage Knowledge: An Illustrated Magazine of Science édité en 1881 par Richard A. Proctor, un astronome anglais réputé pour avoir dressé une des premières cartes de la planète Mars[1].
Dans son livre Mathematical Recreations and Essays, W. W. Rouse Ball en donne en 1892 une description précise et le présente comme un « amusement mathématique, qui aurait été proposé pour la première fois en 1881 »[2].
Règles
Plusieurs variantes du jeu existent, selon les symboles mathématiques qu’on s’autorise, sachant que toutes acceptent bien sûr l’addition (« + »), la soustraction (« − »), la multiplication (« × »), la division (« ÷ ») et les parenthèses :
- avec quatre fois le nombre 4 et les quatre opérations élémentaires, il est possible d'obtenir tous les entiers naturels de 0 à 9, mais il n'est pas possible d'obtenir 10 ni 11 ;
- avec quatre chiffres quatre et concaténation possibles (possibilité d'écrire des nombres formés de chiffres 4 comme « 44 ») le nombre de solutions augmente ;
- avec le recours aux factorielles (« n! »), à la racine carrée (« √ »), aux puissances (comme dans 444), on peut aller jusqu'à 74 (= 4! + 4! + 4! + √4) ;
- avec la virgule en tête de nombre (,4 = 0,4 = 4/10) et la fonction gamma (Γ(), où Γ(n) = (n − 1)!, ainsi Γ(4) = 6), on peut aller bien au-delà.
On accepte parfois la fonction inverse (« 1/n »), la sous-factorielle (notée !n = n!·(1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + 1/4! - ... ±1/n!), la sommation (exemple : ), voire des opérations originales telles que le produit des nombres inférieurs de même parité ("n!!", par exemple 9!! = 9x7x5x3x1) ou la somme des nombres inférieurs ("n?", par exemple 4? = 4+3+2+1). La répétition à l'infini de la décimale 4 peut être acceptée ou non : "," (pour 0,4444… = 4/9).
En revanche l’opérateur logarithme n’est pas autorisé, car on peut systématiquement exprimer n'importe quel entier par la formule suivante[3] :
Solutions
Voici des exemples de solutions pour les 23 premiers entiers naturels, en utilisant des règles classiques. Pour chacun, il existe de nombreuses solutions correctes. Les expressions en bleu s'obligent à ne faire appel qu’à quatre entiers 4 (plutôt que quatre chiffres 4) et aux opérations arithmétiques élémentaires. Celles en italique recourent plusieurs fois au même opérateur.
0 4 ÷ 4 – 4 ÷ 4 = 44 − 44 1 = 4 ÷ 4 + 4 − 4 = 44 ÷ 44 2 = 4 −(4 + 4)÷ 4 = (44 + 4) ÷ 4! 3 = (4 × 4 − 4)÷ 4 = (4 + 4 + 4) ÷ 4 4 = 4 + 4 ×(4 − 4) = −44 + 4! + 4! 5 = (4 × 4 + 4)÷ 4 = (44 − 4!) ÷ 4 6 = (4 + 4)÷ 4 + 4 = 4,4 + 4 ×,4 7 = 4 + 4 − 4 ÷ 4 = 44 ÷ 4 − 4 8 = 4 ÷ 4 × 4 + 4 = 4,4 − ,4 + 4 9 = 4 ÷ 4 + 4 + 4 = 44 ÷ 4 − √4 10 = 4 ÷√4 + 4 ×√4 = (44 − 4) ÷ 4 11 = (4!×√4 - 4)÷ 4 = 44 / (√4 + √4) 12 = 4 ×(4 − 4 ÷ 4) = (44 + 4) ÷ 4 13 = (4!×√4 + 4)÷ 4 = (4 − ,4) ÷ ,4 + 4 = 44 ÷ 4 + √4 14 = 4 × 4 - 4 ÷√4 = 4 × (√4 + √4) - √4 15 = 4 × 4 − 4 ÷ 4 = 44 ÷ 4 + 4 16 = 4 × 4 + 4 − 4 = (44 − 4) ×,4 17 = 4 × 4 + 4 ÷ 4 = (44 + 4!)÷ 4 18 = 4 × 4 + 4 −√4 = (44 ÷ √4) − 4 19 = 4!−(4 + 4 ÷ 4) = (4 + 4 − ,4) ÷ ,4 20 = 4 ×(4 + 4 ÷ 4) = (44 − 4) ÷ √4 21 = 4!− 4 + 4 ÷ 4 = (44 − √4) ÷ √4 22 = 4!÷ 4 + 4 × 4 = 44 ÷ (4 − √4) 23 = 4!+ 4 ÷ 4 −√4 = (44 + √4) ÷ √4 24 = 4 × 4 + 4 + 4 = (44 + 4) ÷ √4 25 = 4!− 4 ÷ 4 +√4 = (4 + 4 + √4) ÷ ,4 26 = 4!+ √4 + 4 - 4 27 = 4!+ √4 + (4 ÷ 4) 28 = (4 + 4)×4 − 4 = 4!+ 4 + 4 - 4 29 = 4!+ 4 + (4 ÷ 4) 30 = 4!+ 4 + 4 - √4 31 = 4!+ (4! + 4) ÷ 4 32 = 4 x 4 + 4 x 4
Il est particulièrement difficile de résoudre certains nombres. Ainsi, pour 113, David A. Wheeler a suggéré[4] :
Autre exemple d'utilisation de la fonction gamma : 157 = ((Γ(4)!+4) ÷ 4) - 4!.
Accepter d’utiliser le pourcentage ("%") dans les formules — notamment au dénominateur — permet d’accéder à un ensemble bien plus vaste de nombres. Par exemple : 113 = (√4 + (√4 + 4!)%) ÷ (√4)%.
Résolution algorithmique
Le problème et ses généralisations (cinq 5, six 6, etc.) peuvent être résolus par un algorithme simple, qui fait appel à des tables reliant entiers naturels et expressions à base du chiffre choisi. Une telle table existe pour chaque nombre n d’occurrences de d. Par exemple, si d=4, la table pour deux occurrences de d contiendra notamment la paire (8 ; 4+4) ; celle pour trois occurrences de d contiendra la paire (2 ; (4+4)/4), etc. Les tables pour n=1 et n=2 contiennent les formules élémentaires, qui ne sont pas la combinaison de formules plus petites. Ainsi, pour n=1 :
T[4] := 4 T[2] := √4 T[4/10] := .4 T[4/9] := .4... etc.
et pour n=2 :
T[44] := 44 etc.
La tâche consiste alors à se référer par récurrence à ces tables, en partant de n=1 jusqu’à dans notre exemple n=4. Pour un n donné, on construit la table en recensant les combinaisons pertinentes de formules plus petites.
Variantes
Extrait de la table des solutions du problème des cinq 5
139 = (((5+(5/5))!/5)-5) 140 = (,5*(5+(5*55))) 141 = ((5)!+((5+(5+,5))/,5)) 142 = ((5)!+((55/,5)/5)) 143 = ((((5+(5/5)))!-5)/5) 144 = ((((55/5)-5))!/5) 145 = ((5*(5+(5*5)))-5) 146 = ((5)!+((5/5)+(5*5))) 147 = ((5)!+((,5*55)-,5)) 148 = ((5)!+(,5+(,5*55))) 149 = (5+(((5+(5/5)))!+5))
Extrait de la table des solutions au problème des six 6
La notation ,6... représente ici le nombre 2/3, avec 6 en décimale récurrente.
241 = ((,6+((6+6)*(6+6)))/,6) 242 = ((6*(6+(6*6)))-(6/,6)) 243 = (6+((6*(,6*66))-,6)) 244 = (,6...*(6+(6*(66-6)))) 245 = ((((6)!+((6)!+66))/6)-6) 246 = (66+(6*((6*6)-6))) 247 = (66+((6+((6)!/,6...))/6)) 248 = (6*(6+(6*(6-(,6.../6))))) 249 = (,6+(6*(6+((6*6)-,6)))) 250 = (((6*(6*6))-66)/,6) 251 = ((6*(6+(6*6)))-(6/6))
Autres puzzles similaires
On peut concevoir d’autres variantes du jeu en remplaçant le quatuor de 4 par tout autre ensemble de chiffres, par exemple ceux qui composent une année de naissance : 1, 9, 6 et 5 pour 1965.
Références
- ↑ (en) Richard A. Proctor, Knowledge : An Illustrated Magazine of Science, (lire en ligne).
- ↑ (en) W. W. Rouse (Walter William Rouse) Ball, Mathematical recreations and essays, London, Macmillan, , 6e éd. (1re éd. 1892) (lire en ligne), p. 14.
- ↑ « 4444 problem », sur paulbourke.net (consulté le )
- ↑ (en-US) « The Definitive Four Fours Answer Key (by David A. Wheeler) », sur www.dwheeler.com (consulté le ).
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