Produit scalaire canonique

Un produit scalaire canonique est un produit scalaire qui se présente de manière naturelle d'après la manière dont l'espace vectoriel est présenté. On parle également de produit scalaire naturel ou usuel.

On appelle produit scalaire canonique de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ l'application qui, aux vecteurs ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ et ${\displaystyle y=(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n})}$ de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ associe la quantité :

${\displaystyle (x\mid y)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}}$.

Sur ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, on considère le produit scalaire hermitien canonique donné par la formule :

${\displaystyle (x\mid y)=\sum _{i=1}^{n}{\bar {x_{i}}}y_{i}}$.

Dans certains espaces de fonctions (fonctions continues sur un segment ou fonctions de carré sommable, par exemple), le produit scalaire canonique est donné par la formule :

${\displaystyle (f\mid g)=\int {\bar {f}}g}$.

Dans l'espace des matrices carrées de dimension ${\displaystyle n}$ à coefficients réels, le produit scalaire usuel est :

${\displaystyle (M\mid N)=\textstyle {Tr}(M{}^{T}N)}$

où ${\displaystyle Tr}$ désigne la trace.

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