Puissance parfaite
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/33/Perfect_power_number_Cuisenaire_rods_9.png/220px-Perfect_power_number_Cuisenaire_rods_9.png)
En mathématiques, une puissance parfaite est un entier naturel qui peut être exprimé sous la forme d'un carré ou d'une puissance entière supérieure ou égale à 2 d'un entier lui aussi supérieur ou égal à 2. Plus formellement, n est une puissance parfaite s'il existe des entiers naturels , et tels que . Dans ce cas, n est appelé une puissance k-ième parfaite . Si k = 2 ou k = 3, n est appelé un carré parfait ou un cube parfait. Parfois, 0 et 1 sont également considérés comme des puissances parfaites (puisque 0k = 0 pour tout k > 0, 1k = 1 pour tout k ).
Exemples et sommes
La liste croissante des puissances parfaites (en conservant les répétitions) est donnée par la suite A072103 de l'OEIS :
La somme des inverses des puissances parfaites (y compris les doublons tels que 3 4 et 9 2, tous deux égaux à 81) est égale à 1 :
ce qui peut se montrer comme suit :
La liste où l'on a supprimé les répétitions :
- (parfois 0 et 1), 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024, ... suite A001597 de l'OEIS
La somme des inverses des puissances parfaites sans répétitions est :
où est l'ensemble des puissances parfaites, μ est la fonction de Möbius et ζ la fonction zêta de Riemann ; voir la suite A072102 de l'OEIS.
Selon Euler, Goldbach a montré (dans une lettre aujourd'hui perdue) que la somme des 1/n − 1 où n décrit l'ensemble des puissances parfaites, excluant 1 et excluant les répétitions, est égale à 1 :
On trouvera sur la page : théorème de Goldbach-Euler la "démonstration" originelle de Goldbach, non conforme aux standards actuels de rigueur, ainsi qu'une démonstration se ramenant à la somme des inverses des puissances parfaites avec les répétions données ci-dessus.
Détecter les puissances parfaites
Déterminer si oui ou non un entier naturel donné n est une puissance parfaite peut être accompli de différentes manières, avec différents niveaux de complexité. L'une des méthodes les plus simples consiste à considérer toutes les valeurs possibles de k sur chacun des diviseurs de n, jusqu'à . Donc si les diviseurs de sont alors une des valeurs doit être égal à n si n est une puissance parfaite.
Cette méthode peut être immédiatement simplifiée en ne considérant que les valeurs premières de l'entier k . En effet, si pour un nombre composé où p est premier, alors cela peut simplement être réécrit sous la forme . Grâce à ce résultat, la valeur minimale de k est nécessairement première.
Si la factorisation complète de n est connue, disons où les sont des nombres premiers distincts, alors n est une puissance parfaite si et seulement si où pgcd désigne le plus grand diviseur commun. Par exemple, considérons n = 2 96 ·3 60 ·7 24 . Puisque pgcd(96, 60, 24) = 12, n est une puissance douzième parfaite (et une puissance sixième, quatrième, un cube et un carré parfaits, puisque 6, 4, 3 et 2 divisent 12).
Écarts entre puissances parfaites
En 2002, le mathématicien roumain Preda Mihăilescu a montré que la seule paire de puissances parfaites consécutives est 2 3 = 8 et 3 2 = 9, prouvant ainsi la conjecture de Catalan.
La conjecture de Pillai stipule que pour tout entier positif k donné, il n'y a qu'un nombre fini de paires de puissances parfaites dont la différence est k . C'est un problème non résolu.
Voir aussi
- Les nombres primaires (puissances d'un nombre premier)
- Les nombres puissants (où les sont ), qui généralisent les puissances parfaites.
- Carré parfait
- Cube parfait
- Puissance quatrième parfaite
Références
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Perfect power » (voir la liste des auteurs).
- Daniel J. Bernstein, « Detecting perfect powers in essentially linear time », Mathematics of Computation, vol. 67, no 223, , p. 1253–1283 (DOI 10.1090/S0025-5718-98-00952-1, lire en ligne)
Liens externes
- Lluís Bibiloni, Pelegrí Viader et Jaume Paradís, Sur une série de Goldbach et Euler, 2004 (Pdf)
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