Cet article est une ébauche concernant l’algèbre.
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L'algèbre des quaternions hyperboliques est un objet mathématique promu à partir de 1890 par Alexander Macfarlane. L'idée fut mise à l'écart, à cause de la non-associativité de la multiplication, mais elle est reprise dans l'espace de Minkowski. Comme les quaternions de Hamilton, c'est une algèbre réelle de dimension 4.
Une combinaison linéaire :
![{\displaystyle q=a+b\mathrm {i} +c\mathrm {j} +d\mathrm {k} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c6984c7977418e000684aa456d1d9e5d50172d0)
est un quaternion hyperbolique si
et
sont des nombres réels, et les unités
sont telles que :
Soit :
| | | | |
| ![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf) | | ![{\displaystyle \mathrm {j} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97685153a7b89e72bba63e2903f6d5a7663fe734) | |
| ![{\displaystyle \mathrm {i} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18f0f09f6fc40e634d34aed6e205ac0f7a40e062) | | ![{\displaystyle \mathrm {k} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e9db4cac5fae0698c77b08f022475476842c9f5) | |
| ![{\displaystyle \mathrm {j} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97685153a7b89e72bba63e2903f6d5a7663fe734) | | ![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf) | |
| ![{\displaystyle \mathrm {k} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e9db4cac5fae0698c77b08f022475476842c9f5) | | ![{\displaystyle -\mathrm {i} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8ec3934b68cc5430cd1201cae5c62f7c9528127) | |
La différence entre les quaternions et les quaternions hyperboliques est donc la valeur du carré
. Elle vaut
pour les quaternions et
pour les quaternions hyperboliques.
Bien que ces unités ne respectent pas l'associativité, l'ensemble
forme un quasigroupe.
Exemple de non-associativité :
alors que
.
Si l'on définit le conjugué
de
par
![{\displaystyle q^{*}=a-b\mathrm {i} -c\mathrm {j} -d\mathrm {k} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbcdd0ed7c51b87caae6e0faf0bdee636cb5102d)
alors le produit
est la forme quadratique utilisée dans l'espace de Minkowski, pour la convention
.
Soit
un point de l'espace temps et
son conjugué.
est le carré de la pseudo-norme de
dans l'espace de Minkowski.
Articles connexes
- Octonion
- Nombre hypercomplexe
- Théorème de Frobenius
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé
« Hyperbolic quaternion » (voir la liste des auteurs).
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