Réciprocité cubique
En mathématiques, la loi de réciprocité cubique fait référence à divers résultats reliant la résolubilité de deux équations cubiques reliées en arithmétique modulaire.
Notations
La loi de réciprocité cubique est plus naturellement exprimée en termes d'entiers d'Eisenstein, c’est-à-dire, l'anneau E des nombres complexes de la forme
où a et b sont des entiers relatifs et
est une racine cubique de l'unité complexe.
Si π est un élément premier de E de norme P ≡ 1 (mod 3) et α un élément premier avec π, on définit le symbole résidu cubique comme étant la racine cubique de l'unité (puissance de ω) satisfaisant
De plus, on dit qu'un entier d'Eisenstein est primaire s'il est congru à ±1 modulo 3.
Énoncé
Pour des nombres premiers primaires non associés π et θ, la loi de réciprocité cubique est :
avec des lois supplémentaires pour les unités et pour l'élément premier 1 – ω de norme 3 qui, pour π = 1 + 3(m + nω), sont :
Références
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Cubic reciprocity » (voir la liste des auteurs).
- (en) David A. Cox, Primes of the Form x2+ny2, Wiley, (1re éd. 1989), 351 p. (ISBN 978-0-471-19079-0, lire en ligne), p. 74-80
- (en) Kenneth Ireland et Michael Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, Springer, coll. « GTM » (no 84), (réimpr. 1998), 2e éd., 389 p. (ISBN 978-0-387-97329-6, lire en ligne), p. 108-137
- (en) Franz Lemmermeyer, Reciprocity Laws : From Euler to Eisenstein, Berlin/New York, Springer, , 487 p. (ISBN 978-3-540-66957-9, lire en ligne), p. 209-234
Articles connexes
- Loi de réciprocité quadratique
- Symbole de Legendre
Arithmétique et théorie des nombres