Régression non paramétrique
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f7/Logo_proba_4.svg/45px-Logo_proba_4.svg.png)
Cet article est une ébauche concernant les probabilités et la statistique.
Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.
La régression non paramétrique est une forme d'analyse de la régression dans lequel le prédicteur, ou fonction d'estimation, ne prend pas de forme prédéterminée, mais est construit selon les informations provenant des données. La régression non paramétrique exige des tailles d'échantillons plus importantes que celles de la régression basée sur des modèles paramétriques parce que les données doivent fournir la structure du modèle ainsi que les estimations du modèle.
Principe général
On dispose de données numériques que l'on suppose corrélées. Une des grandeurs, notée , est appelée variable expliquée. Les autres sont regroupées dans une variable dite explicative qui est un vecteur :
- .
On dispose de situations ( jeux de valeurs) formant un nuage de points :
- .
La régression consiste à trouver une fonction, appelée prédicteur
telle que le résidu
soit le « plus petit possible » ; on estime alors que le prédicteur « décrit bien » les données. On peut ainsi écrire
ou encore
Dans le cas de la régression paramétrique, on part d'un prédicteur dont la forme générale est connue. C'est une fonction qui s'exprime par un jeu de paramètre avec . Le cas le plus simple est celui de la régression linéaire :
- ,
et l'on cherche à minimiser le résidu quadratique
Dans le cas de la régression non paramétrique, on ne part pas d'une forme de fonction connue. Le cas le plus simple est celui du lissage d'une courbe : à partir du nuage de points initial, on détermine un nouveau nuage de point présentant des variations moins abruptes (dérivable).
Méthodes de régression non paramétrique
Modèle de régression additif
Le modèle additif consiste à simplifier la recherche du prédicteur en considérant que c'est la somme de fonctions d'une seule variable :
où les fonctions sont des fonctions « lisses » (dérivables). Chaque fonction est estimée à partir des données.
Il existe des variations autour de ce concept :
- modèle semi-paramétrique : certaines fonctions sont linéaires, ;
- modèle avec interactions : on introduit dans la somme des fonctions de deux variables .
Régression locale
La régression locale consiste à faire de la régression par parties : on découpe l'espace des variables explicatives en zones, et l'on fait une régression sur chaque zone. La régression au sein d'une zone peut être elle-même paramétrique, la méthode est toutefois tout de même considérée comme non paramétrique. On fait ainsi fréquemment de la régression locale polynomiale ou de la régression locale par spline.
Le prédicteur n'est pas toujours continu, ni a fortiori dérivable ; il n'est que continu par morceaux (et dérivable par morceaux).
Estimation par noyau
La méthode de l'estimation par noyau consiste à considérer un noyau, c'est-à-dire une fonction symétrique et semi-définie positive (typiquement linéaire, polynomial ou gaussien). Le prédicteur est alors de la forme :
où les sont des points donnés de l'espace des variables explicatives. Ainsi, contrairement à la régression locale, chaque fonction s'étend sur la totalité de l'espace, mais est centrée sur un point donné. Il n'y a donc pas de problème de continuité.
Estimation par projection
On suppose pour simplifier que l'on n'a qu'une variable explicative , et que et sont dans [0 ; 1]. On considère une base orthonormée de l'espace des fonctions de carré sommable dans [0 ; 1]. On considère une sous-famille finie .
La projection orthogonale d'une fonction quelconque sur est
dans le cas du prédicteur , on a l'approximation
et le prédicteur est donc défini par :
- .
On peut par exemple utiliser une base de Fourier ou bien des ondelettes.
Notes et références
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Nonparametric regression » (voir la liste des auteurs).
Bibliographie
- Emmanuel Flachaire et Ibrahim Ahamada, Économétrie non paramétrique, Paris, Economica, coll. « Corpus Économie », , 1re éd., 152 p. (ISBN 978-2-7178-5614-9)
- (en) John Fox et Sanford Weisberg, « Nonparametric Regression in R (web appendix) », dans An R Companion to Applied Regression, Sage, , 2e éd. (ISBN 978-1412975148, lire en ligne [PDF])
Voir aussi
Liens externes
- [PDF] « Apprentissage non paramétrique en régression », sur WikiStat (Université de Toulouse) (consulté le )
Portail des probabilités et de la statistique