Rayon spectral
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Soit un endomorphisme sur un espace de Banach complexe , on appelle rayon spectral de , et on note , le rayon de la plus petite boule fermée de centre 0 contenant toutes les valeurs spectrales de . Il est toujours inférieur ou égal à la norme d'opérateur de .
En dimension finie, pour un endomorphisme de valeurs propres complexes , le rayon spectral est égal à .
Par conséquent, pour toute norme matricielle N, c'est-à-dire toute norme d'algèbre sur (respectivement ) et pour toute matrice A dans (respectivement ), .
Soit une valeur propre de et un vecteur propre associé. Notons la matrice carrée dont la première colonne est et les autres sont nulles. On a donc et l'on peut simplifier par car le vecteur étant non nul, il en est de même de la matrice .
De plus, on montre que , la borne inférieure étant prise sur l'ensemble des normes subordonnées donc a fortiori sur l'ensemble des normes d'algèbre.
Le théorème de Gelfand nous dit que le rayon spectral d'un endomorphisme est donné par la formule .
Pour un opérateur normal (en particulier pour un opérateur autoadjoint) sur un espace de Hilbert H, le rayon spectral est égal à la norme d'opérateur. On en déduit que pour tout opérateur A sur H, .
Le rayon spectral peut donc être strictement inférieur à la norme d'opérateur. Par exemple la matrice a un rayon spectral 0, mais donc (plus précisément, car nous avons ).
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