Série alternée des factorielles

En mathématiques, et plus précisément en analyse, la série alternée des factorielles est la série divergente 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ , en notations modernes :

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!}$.

Leonhard Euler est le premier à avoir considéré cette série, qu'il dénomme "série hypergéométrique de Wallis"^[1]. Il l'étudia par des méthodes de sommation formelle, ainsi qu'en lui associant une équation différentielle^[2] ; cela lui permit de lui attribuer une valeur finie. Il est plus simple pour la sommer d'utiliser la sommation de Borel :

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\int _{0}^{\infty }x^{k}\operatorname {e} ^{-x}\,{\rm {d}}x}$

(formellement, puisque les deux séries divergent).

Échangeant somme et intégrale, on obtient :

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=\int _{0}^{\infty }\left(\sum _{k=0}^{\infty }(-x)^{k}\right)\operatorname {e} ^{-x}\,{\rm {d}}x.}$

La somme entre crochets converge vers 1/(1 + x) si x < 1. La remplaçant alors par 1/(1 + x) même pour les valeurs de x supérieures à 1, on obtient une intégrale convergente, ce qui autorise à écrire (au sens de Borel) :

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {e} ^{-x}}{1+x}}\,{\rm {d}}x=-{\rm {e}}\cdot \mathrm {Ei} (-1)\approx 0{,}596347362323194074341078499369\ldots }$

où e est la base des logarithmes népériens, et où Ei(z) est l'exponentielle intégrale.

La valeur de cette intégrale est appelée constante de Gompertz ou constante d'Euler-Gompertz, voir la suite A073003 de l'OEIS.

Considérons le système d'équations différentielles

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}(t)=x(t)-y(t),\qquad {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}(t)=-y(t)^{2}.}$

La solution stable vérifiant (x, y) = (0, 0) pour t → ∞ est donnée par y(t) = 1/t. En introduisant ce résultat dans l'équation en x puis en cherchant une solution sous forme de série formelle, on trouve :

${\displaystyle x(t)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {(n-1)!}{t^{n}}}.}$

La valeur x(1) est précisément celle qu'on veut calculer. D'un autre côté, on peut calculer la solution exacte :

${\displaystyle x(t)={\rm {e}}^{t}\int _{t}^{\infty }{\frac {{\rm {e}}^{-u}}{u}}\mathrm {d} u.}$

Par intégrations par parties successives, on retrouve la série entière comme développement asymptotique de cette expression pour x(t). Euler utilise cette égalité pour affirmer :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}(n-1)!={\rm {e}}\int _{1}^{\infty }{\frac {{\rm {e}}^{-u}}{u}}\mathrm {d} u,}$ ce qui est bien la valeur obtenue par sommation de Borel.

• Factorielle alternée (en)
• Série des entiers (1 + 2 + 3 + 4 + ⋯)
• Série alternée des entiers (1 − 2 + 3 − 4 + ⋯)
• Série de Grandi (1 − 1 + 1 − 1 + ⋯)
• Série divergente

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