Animation d'une somme télescopique, qui se range comme un télescope lorsque les termes s'annulent. Si ce bandeau n'est plus pertinent, retirez-le. Cliquez ici pour en savoir plus. Cet article ne cite pas suffisamment ses sources (mars 2024 ).
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En analyse, l'expression somme télescopique désigne informellement une somme dont les termes s'annulent de proche en proche :
( a 1 − a 0 ) + ( a 2 − a 1 ) + . . . + ( a n − a n − 1 ) = a n − a 0 {\displaystyle (a_{1}-a_{0})+(a_{2}-a_{1})+...+(a_{n}-a_{n-1})=a_{n}-a_{0}} La formulation vient de l'image d'un télescope que l'on replie.
Lorsqu'on effectue cette simplification, on emploie en général la phrase « l'expression se simplifie par télescopage ».
Formule de télescopage et série télescopique Si ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} est une suite numérique, la série télescopique correspondante est la série de terme général a n + 1 − a n {\displaystyle a_{n+1}-a_{n}} . La formule de télescopage s'écrit alors
∑ k = 0 n − 1 ( a k + 1 − a k ) = ∑ k = 1 n ( a k − a k − 1 ) = a n − a 0 . {\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\left(a_{k+1}-a_{k}\right)=\sum _{k=1}^{n}\left(a_{k}-a_{k-1}\right)=a_{n}-a_{0}.} La convergence de la série télescopique ∑ ( a n + 1 − a n ) {\textstyle \sum (a_{n+1}-a_{n})} équivaut donc à la convergence de la suite ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} , et ∑ n = 0 ∞ ( a n + 1 − a n ) = lim a n − a 0 {\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }(a_{n+1}-a_{n})=\lim a_{n}-a_{0}}
On peut voir cette formule comme une version discrète de la formule d'intégration : ∫ a b f ′ ( x ) d x = f ( b ) − f ( a ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f'(x)\mathrm {d} x=f(b)-f(a)} .
Exemples d'applications ( 1 − x ) ∑ k = 0 n x k = ( 1 − x ) ( 1 + x + x 2 + ⋯ + x n ) = ( 1 − x ) + ( x − x 2 ) + ( x 2 − x 3 ) + ⋯ + ( x n − x n + 1 ) = 1 − x n + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}(1-x)\sum _{k=0}^{n}x^{k}&=(1-x)(1+x+x^{2}+\cdots +x^{n})\\&=(1-x)+(x-x^{2})+(x^{2}-x^{3})+\dotsb +(x^{n}-x^{n+1})\\&=1-x^{n+1}\end{aligned}}} ou, plus formellement, ( 1 − x ) ∑ k = 0 n x k = ∑ k = 0 n ( x k − x k + 1 ) = 1 − x n + 1 . {\displaystyle (1-x)\sum _{k=0}^{n}x^{k}=\sum _{k=0}^{n}(x^{k}-x^{k+1})=1-x^{n+1}.}
Les formules ∑ k = 1 n k × k ! = ( n + 1 ) ! − 1 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k\times k!=(n+1)!-1} et ∑ k = 1 n k ( k + 1 ) ! = 1 − 1 ( n + 1 ) ! {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {k}{(k+1)!}}=1-{\frac {1}{(n+1)!}}} s'obtiennent par télescopage après avoir écrit k = k + 1 − 1 {\displaystyle k=k+1-1} . La formule concernant la suite de Fibonacci : ∑ k = 0 n F k = F n + 2 − 1 {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}F_{k}=F_{n+2}-1} s'obtient en écrivant F k = F k + 2 − F k + 1 {\displaystyle F_{k}=F_{k+2}-F_{k+1}} . La formule de la crosse de Hockey pour les coefficients binomiaux : ∑ k = p n ( k p ) = ( n + 1 p + 1 ) {\displaystyle \sum _{k=p}^{n}{\binom {k}{p}}={\binom {n+1}{p+1}}} s'obtient par télescopage en utilisant la relation de Pascal : ( k p ) = ( k + 1 p + 1 ) − ( k p + 1 ) {\displaystyle {\binom {k}{p}}={\binom {k+1}{p+1}}-{\binom {k}{p+1}}} . La relation remarquable 1 3 + 2 3 + . . . + n 3 = ( 1 + 2... + n ) 2 {\displaystyle 1^{3}+2^{3}+...+n^{3}=(1+2...+n)^{2}} peut s'obtenir par télescopage. En effet, si a n = ( 0 + 1 + 2 + . . . + n ) 2 = n 2 ( n + 1 ) 2 4 {\displaystyle a_{n}=(0+1+2+...+n)^{2}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}} , alors
a k − a k − 1 = k 2 ( k + 1 ) 2 − k 2 ( k − 1 ) 2 4 = k 2 4 k 4 = k 3 . {\displaystyle a_{k}-a_{k-1}={\frac {k^{2}(k+1)^{2}-k^{2}(k-1)^{2}}{4}}=k^{2}{\frac {4k}{4}}=k^{3}.} On en déduit
∑ k = 1 n k 3 = ∑ k = 1 n ( a k − a k − 1 ) = a n − a 0 = ( 1 + 2 + . . . + n ) 2 . {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{3}=\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k-1})=a_{n}-a_{0}=(1+2+...+n)^{2}.} Plus généralement, les sommes des n {\displaystyle n} premières puissances p -ièmes des entiers S n p = ∑ k = 0 n k p {\displaystyle S_{n}^{p}=\sum _{k=0}^{n}k^{p}} peuvent se calculer de proche en proche grâce à la formule de récurrence (Pascal 1655) : ( p + 1 ) S n p = ( n + 1 ) p + 1 − ∑ q = 0 p − 1 ( p + 1 q ) S n q {\displaystyle (p+1)S_{n}^{p}=(n+1)^{p+1}-\sum _{q=0}^{p-1}{\binom {p+1}{q}}S_{n}^{q}} , formule se démontrant par télescopage et à l'aide de la formule du binôme . En effet, par télescopage : ∑ k = 0 n ( ( k + 1 ) p + 1 − k p + 1 ) = ( n + 1 ) p + 1 {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}((k+1)^{p+1}-k^{p+1})=(n+1)^{p+1}} . Et par la formule du binôme, ∑ k = 0 n ( ( k + 1 ) p + 1 − k p + 1 ) = ∑ k = 0 n ∑ q = 0 p ( p + 1 q ) k q = ∑ q = 0 p ( p + 1 q ) ∑ k = 0 n k q = ( p + 1 ) S n p + ∑ q = 0 p − 1 ( p + 1 q ) S n q {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}((k+1)^{p+1}-k^{p+1})=\sum _{k=0}^{n}\sum _{q=0}^{p}{\binom {p+1}{q}}k^{q}=\sum _{q=0}^{p}{\binom {p+1}{q}}\sum _{k=0}^{n}k^{q}=(p+1)S_{n}^{p}+\sum _{q=0}^{p-1}{\binom {p+1}{q}}S_{n}^{q}} d'où la formule annoncée. La décomposition en éléments simples permet parfois une réécriture sous forme télescopique ; par exemple, puisque 1 x ( x + 1 ) = 1 x − 1 x + 1 , {\displaystyle {\frac {1}{x(x+1)}}={\frac {1}{x}}-{\frac {1}{x+1}},} on a (si − α ∉ N {\displaystyle -\alpha \notin \mathbb {N} } ) : ∑ k = 0 ∞ 1 ( k + α ) ( k + α + 1 ) = ∑ k = 0 ∞ ( 1 k + α − 1 k + α + 1 ) = ( 1 α − 1 α + 1 ) + ( 1 α + 1 − 1 α + 2 ) + ⋯ = 1 α + ( − 1 α + 1 + 1 α + 1 ) + ( − 1 α + 2 + 1 α + 2 ) + ⋯ = 1 α . {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+\alpha )(k+\alpha +1)}}&=\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{k+\alpha }}-{\frac {1}{k+\alpha +1}}\right)\\&=\left({\frac {1}{\alpha }}-{\frac {1}{\alpha +1}}\right)+\left({\frac {1}{\alpha +1}}-{\frac {1}{\alpha +2}}\right)+\cdots \\&={\frac {1}{\alpha }}+\left(-{\frac {1}{\alpha +1}}+{\frac {1}{\alpha +1}}\right)+\left(-{\frac {1}{\alpha +2}}+{\frac {1}{\alpha +2}}\right)+\cdots ={\frac {1}{\alpha }}.\end{aligned}}}
∑ k = 1 n sin ( k ) = ∑ k = 1 n 1 2 sin ( 1 2 ) ( 2 sin ( 1 2 ) sin ( k ) ) = 1 2 sin ( 1 2 ) ∑ k = 1 n ( cos ( 2 k − 1 2 ) − cos ( 2 k + 1 2 ) ) = 1 2 sin ( 1 2 ) ( cos ( 1 2 ) − cos ( 2 n + 1 2 ) ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}\sin \left(k\right)&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{2\sin \left({\frac {1}{2}}\right)}}\left(2\sin \left({\frac {1}{2}}\right)\sin \left(k\right)\right)\\&={\frac {1}{2\sin \left({\frac {1}{2}}\right)}}\sum _{k=1}^{n}\left(\cos \left({\frac {2k-1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2k+1}{2}}\right)\right)\\&={\frac {1}{2\sin \left({\frac {1}{2}}\right)}}\left(\cos \left({\frac {1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2n+1}{2}}\right)\right).\end{aligned}}}
Plus généralement, les expressions closes suivantes des sommes C n = ∑ k = 0 n cos ( k θ + φ ) {\displaystyle C_{n}=\sum _{k=0}^{n}\cos(k\theta +\varphi )} et S n = ∑ k = 0 n sin ( k θ + φ ) {\displaystyle S_{n}=\sum _{k=0}^{n}\sin(k\theta +\varphi )} pour θ ≠ 0 mod 2 π {\displaystyle \theta \neq 0\mod 2\pi } : C n = sin ( ( n + 1 ) θ 2 ) sin θ 2 cos ( n θ 2 + φ ) , S n = sin ( ( n + 1 ) θ 2 ) sin θ 2 sin ( n θ 2 + φ ) {\displaystyle C_{n}={\frac {\sin \left((n+1){\frac {\theta }{2}}\right)}{\sin {\frac {\theta }{2}}}}\cos \left(n{\frac {\theta }{2}}+\varphi \right),\ S_{n}={\frac {\sin \left((n+1){\frac {\theta }{2}}\right)}{\sin {\frac {\theta }{2}}}}\sin \left(n{\frac {\theta }{2}}+\varphi \right)} peuvent s'obtenir en multipliant par sin θ 2 {\displaystyle \sin {\frac {\theta }{2}}} , en linéarisant, puis en télescopant. Il convient cependant, dans le cas des séries, de ne pas négliger les questions de convergence ; on pourrait sinon en déduire, par exemple, que 1 + 1 + 1 + ⋯ = ( 2 − 1 ) + ( 3 − 2 ) + ( 4 − 3 ) + ⋯ = − 1 + ( 2 − 2 ) + ( 3 − 3 ) + ⋯ = − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}1+1+1+\cdots &=(2-1)+(3-2)+(4-3)+\cdots \\&=-1+(2-2)+(3-3)+\cdots \\&=-1\end{aligned}}} (mais les résultats ainsi obtenus ne sont pas toujours dénués de sens ; on pourra à ce sujet consulter l'article série divergente ).
Application à la sommation par parties Article détaillé : sommation par parties.
Énoncé et démonstration Si ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} et ( b n ) {\displaystyle (b_{n})} sont des suites, la formule de sommation par parties s'écrit :
∑ k = 0 n − 1 ( a k + 1 − a k ) b k = ( a n b n − a 0 b 0 ) − ∑ k = 0 n − 1 a k + 1 ( b k + 1 − b k ) {\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\left(a_{k+1}-a_{k}\right)b_{k}=(a_{n}b_{n}-a_{0}b_{0})-\sum _{k=0}^{n-1}a_{k+1}\left(b_{k+1}-b_{k}\right)} En effet, d'une part par télescopage,
∑ k = 0 n − 1 ( a k + 1 b k + 1 − a k b k ) = ( a n b n − a 0 b 0 ) {\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\left(a_{k+1}b_{k+1}-a_{k}b_{k}\right)=(a_{n}b_{n}-a_{0}b_{0})} et d'autre part :
∑ k = 0 n − 1 ( a k + 1 b k + 1 − a k b k ) = ∑ k = 0 n − 1 ( a k + 1 ( b k + 1 − b k ) + ( a k + 1 − a k ) b k ) {\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\left(a_{k+1}b_{k+1}-a_{k}b_{k}\right)=\sum _{k=0}^{n-1}\left(a_{k+1}(b_{k+1}-b_{k})+(a_{k+1}-a_{k})b_{k}\right)}
Exemple d’application ( x − 1 ) ∑ k = 0 n − 1 k x k = ∑ k = 0 n − 1 k ( x k + 1 − x k ) = f o r m u l e n x n − ∑ k = 0 n − 1 x k + 1 = n x n − x n + 1 − x x − 1 {\displaystyle (x-1)\sum _{k=0}^{n-1}kx^{k}=\sum _{k=0}^{n-1}k(x^{k+1}-x^{k}){\overset {formule}{=}}nx^{n}-\sum _{k=0}^{n-1}x^{k+1}=nx^{n}-{\frac {x^{n+1}-x}{x-1}}} , dont on tire :
∑ k = 0 n − 1 k x k = ( n − 1 ) x n + 1 − n x n + x ( x − 1 ) 2 {\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}kx^{k}={\frac {(n-1)x^{n+1}-nx^{n}+x}{(x-1)^{2}}}}
Produit télescopique
La version multiplicative de la formule de télescopage s'écrit, pour une suite ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} jamais nulle :
∏ k = 0 n − 1 a k + 1 a k = ∏ k = 1 n a k a k − 1 = a n a 0 {\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}{\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}={\frac {a_{n}}{a_{0}}}} . La convergence du produit infini télescopique ∏ a n + 1 a n {\displaystyle \prod {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}} équivaut donc à la convergence de la suite ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} vers une limite ℓ ≠ 0 {\displaystyle \ell \neq 0} , et ∏ n = 0 ∞ a n + 1 a n = ℓ a 0 . {\displaystyle \prod _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}={\frac {\ell }{a_{0}}}.}
Exemples En remarquant que 2 cos a = sin 2 a sin a {\displaystyle 2\cos a={\frac {\sin 2a}{\sin a}}} , on a : 2 n ∏ k = 0 n − 1 cos ( 2 k α ) = ∏ k = 0 n − 1 sin ( 2 k + 1 α ) sin ( 2 k α ) = sin ( 2 n α ) sin α {\displaystyle 2^{n}\prod _{k=0}^{n-1}\cos(2^{k}\alpha )=\prod _{k=0}^{n-1}{\frac {\sin(2^{k+1}\alpha )}{\sin(2^{k}\alpha )}}={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{\sin \alpha }}} (généralisation de la loi de Morrie), ce qui équivaut à ∏ k = 1 n cos a 2 k = sin a 2 n sin a 2 n {\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\cos {\frac {a}{2^{k}}}={\frac {\sin a}{2^{n}\sin {\frac {a}{2^{n}}}}}} et donne ∏ k = 1 ∞ cos a 2 k = sin a a {\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }\cos {\frac {a}{2^{k}}}={\frac {\sin a}{a}}} ; ∏ n = 2 N ( 1 − 1 n 2 ) = ∏ n = 2 N n + 1 n n n − 1 = N + 1 N 2 {\displaystyle \prod _{n=2}^{N}\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)=\prod _{n=2}^{N}{\frac {\frac {n+1}{n}}{\frac {n}{n-1}}}={\frac {\frac {N+1}{N}}{2}}} , d'où ∏ n = 2 ∞ ( 1 − 1 n 2 ) = 1 2 {\displaystyle \prod _{n=2}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)={1 \over 2}} ; ∏ n = 2 N n 3 − 1 n 3 + 1 = ∏ n = 2 N n 2 + n + 1 n 2 + n n 2 − n + 1 n 2 − n = N 2 + N + 1 N 2 + N 3 / 2 {\displaystyle \prod _{n=2}^{N}{\frac {n^{3}-1}{n^{3}+1}}=\prod _{n=2}^{N}{\frac {\frac {n^{2}+n+1}{n^{2}+n}}{\frac {n^{2}-n+1}{n^{2}-n}}}={\frac {\frac {N^{2}+N+1}{N^{2}+N}}{3/2}}} , d'où ∏ n = 2 ∞ n 3 − 1 n 3 + 1 = 2 3 {\displaystyle \prod _{n=2}^{\infty }{\frac {n^{3}-1}{n^{3}+1}}={2 \over 3}} .
Références (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé
« Telescoping series » (voir la liste des auteurs) .
(en) Eric W. Weisstein , « Telescoping Sum », sur MathWorld
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