Sous-groupe de Fitting

Si X et Y sont deux parties d'un groupe G, nous noterons XY et nous appellerons produit de X et de Y (dans cet ordre) l'ensemble des éléments de G de la forme xy avec x dans X et y dans Y. On sait que si H et K sont des sous-groupes normaux de G, le sous-groupe de G engendré par H et K est leur produit HK = KH. On en tire par récurrence sur n que si K₁, ...., K_n sont des sous-groupes normaux de G, alors le sous-groupe de G engendré par K₁, ...., K_n est leur produit K₁ .... K_n, où l'ordre des facteurs n'a pas d'importance. On sait que le sous-groupe engendré par une famille de sous-groupes normaux est lui-même un sous-groupe normal, donc K₁ .... K_n est un sous-groupe normal de G.

Pour des sous-groupes (non forcément normaux) L₁, ...., L_n de G, n étant un nombre naturel au moins égal à 1, on définit [L₁, ...., L_n] par récurrence sur n en posant

[L₁] = L₁

et

[L₁, ...., L_n] = [ [L₁, ...., L_n-1], L_n]

si n > 1. (Le symbole [L, M], où L et M sont des sous-groupes de G, est défini à l'article Commutateur (théorie des groupes).)

En particulier, si les L_i sont tous égaux à un même sous-groupe L de G, [L₁, ...., L_n] = Cⁿ(L), où Cⁿ(L) est le n-ième sous-groupe apparaissant dans la suite centrale descendante de L. (Rappelons que cette suite se définit par récurrence sur n en posant C¹(L) = L et, pour n > 1, Cⁿ(L) = [L, C^n-1(L)] = [C^n-1(L), L].)

On sait que si A et B sont deux sous-groupes normaux de G, alors [A, B] est un sous-groupe normal de G. On en tire par récurrence sur n que si L₁, ...., L_n sont des sous-groupes normaux de G, alors [L₁, ...., L_n] est un sous-groupe normal de G.

Lemme^[4]. Soient N₁, ...., N_s des sous-groupes normaux de G. Si i₁ < ... < i_k sont des éléments de {1, 2, ... , s}, alors

${\displaystyle [N_{1},....,N_{s}]\subseteq [N_{i_{1}},....,N_{i_{k}}].}$

Démonstration par récurrence sur s, en distinguant les deux cas i_k < s et i_k = s, et en utilisant le fait que si A et B sont des sous-groupes normaux de G, alors [A, B] est contenu dans A et dans B.

Pour prouver le théorème de Fitting, il suffit de prouver que si H et K sont des sous-groupes normaux nilpotents de G, de classes de nilpotence respectives c₁ et c₂, alors HK est lui aussi un sous-groupe normal nilpotent de G et sa classe de nilpotence est inférieure ou égale à c₁ + c₂. (Le cas général s'en déduit par récurrence.)

Que HK soit normal résulte du fait que le sous-groupe engendré par une famille de sous-groupes normaux de G est lui-même normal dans G. Il reste donc à démontrer que HK est nilpotent de classe au plus c₁ + c₂.

On sait que, si H, K, L sont des sous-groupes normaux de G, alors [HK, L] = [H, L] [K, L], ce qui peut encore s'écrire [L, HK] = [L, H] [L, K]. On en tire par récurrence que Cⁿ(HK) est le produit (au sens défini ci-dessus) des sous-groupes de G de la forme [A₁, ...., A_n], où, pour tout i, A_i est égal à H ou à K. Si n = c₁ + c₂ + 1, il y a ou bien au moins c₁ + 1 des A_i qui sont égaux à H, ou bien c₂ + 1 des A_i qui sont égaux à K. D'après le lemme ci-dessus, il en résulte que, pour cette valeur de n, [A₁, ...., A_n] est contenu dans ${\displaystyle C^{c_{1}+1}(H)=1}$ ou dans ${\displaystyle C^{c_{2}+1}(K)=1}$. Dans les deux cas, [A₁, ...., A_n] = 1, donc ${\displaystyle C^{c_{1}+c_{2}+1}(HK)=1}$, donc HK est nilpotent de classe au plus c₁ + c₂, comme annoncé.