Test de la dérivée première

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En analyse réelle, le test de la dérivée première permet de déterminer l'allure d'une fonction dérivable ${\displaystyle f}$ en étudiant le signe de sa dérivée. Grâce à ce test, on peut déduire les extrema locaux, le sens de variation de f et les points d'inflexion « horizontaux », permettant ainsi de donner une allure du graphe de la fonction ${\displaystyle f}$.

Soit ${\displaystyle f:\,I\,\rightarrow \mathbb {R} ,\,x\mapsto f(x)}$ avec ${\displaystyle I}$ un intervalle ouvert réel (par exemple ${\displaystyle I=]a,b[}$ où ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ sont des réels). On suppose de plus que ${\displaystyle f}$ dérivable sur ${\displaystyle I}$ .

L'étude du signe de la dérivée ${\displaystyle f'}$ permet d'en déduire les variations de la fonction ${\displaystyle f}$ :

• Si ${\displaystyle I_{1}\subset I}$ est un intervalle tel que pour tout ${\displaystyle x\in I_{1},}$ ${\displaystyle f'(x)<0}$, alors ${\displaystyle f}$ est strictement décroissante sur ${\displaystyle I_{1}}$
• Si ${\displaystyle I_{2}\subset I}$ est un intervalle tel que pour tout ${\displaystyle x\in I_{2},}$ ${\displaystyle f'(x)>0}$, alors ${\displaystyle f}$ est strictement croissante sur ${\displaystyle I_{2}}$
• Si ${\displaystyle x\in I}$ est tel que ${\displaystyle f'(x)=0}$, alors ${\displaystyle f}$ admet un extremum local ou un point d'inflexion (suivant si ${\displaystyle f'}$change de signe en ${\displaystyle x}$ ou non).

Les points en lesquels ${\displaystyle f'}$ s'annule sont parfois appelés points critiques. Leur étude est très utile quand on s'intéresse aux variations d'une fonction. En effet, si la fonction ${\displaystyle f}$ change de sens de variation en un point, la dérivée s'annule en ce point. Cependant, la réciproque est fausse dans le cas général : ${\displaystyle f'}$peut s'annuler sans que ${\displaystyle f}$ ne change de sens de variation, c'est par exemple le cas lorsque ${\displaystyle f}$ admet un point d'inflexion horizontal.

Soit la fonction polynomiale définie pour tout ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ par ${\displaystyle f(x)=2x^{3}-3x^{2}-12x+10}$.

On utilise le test de la dérivée première pour établir le tableau de variation de ${\displaystyle f}$ et ainsi donner l'allure du graphe de cette fonction.

On commence par calculer la dérivée de ${\displaystyle f}$ à l'aide des formules usuelles des dérivées. Pour ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$,

${\displaystyle f'(x)=6x^{2}-6x-12=6(x-2)(x+1)}$

On en déduit que ${\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=-1{\text{ ou }}x=2}$ et donc que la tangente à la courbe de la fonction est horizontale en ${\displaystyle x=2}$ et ${\displaystyle x=-1}$. De plus, la fonction ${\displaystyle f'}$ est strictement positive sur ${\displaystyle ]-\infty ,-1[}$ et ${\displaystyle ]2,+\infty [}$ et strictement négative sur ${\displaystyle ]-1,2[}$ (voir Fonction du second degré).

Un aperçu de la représentation graphique de ${\displaystyle f(x)=2x^{3}-3x^{2}-12x+10}$ peut être obtenu en regroupant toutes les informations précédentes dans un tableau, appelé tableau de variation.

${\displaystyle x}$	${\displaystyle -\infty }$		${\displaystyle -1}$		${\displaystyle 2}$		${\displaystyle +\infty }$
signe de ${\displaystyle f'(x)}$		${\displaystyle +}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle +}$
variations de ${\displaystyle f}$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \nearrow }$	${\displaystyle 17}$	${\displaystyle \searrow }$	${\displaystyle -10}$	${\displaystyle \nearrow }$	${\displaystyle +\infty }$

On remarque que la fonction ${\displaystyle f'}$change de signe en -1 donc il s'agit bien d'un extremum local, ici un maximum. De même, en 2, la fonction atteint un minimum local. On peut en déduire une esquisse du graphe de ${\displaystyle f}$.

De manière analogue, on peut déterminer les extrema locaux et globaux d'une fonction réelle à valeurs réelles par l'étude des points d'annulation du gradient.

• Variations d'une fonction
• Dérivation
• Théorème de Fermat sur les points stationnaires

1. Dérivées des fonctions de R dans R. Applications. Fonctions élémentaires

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