Théorème binomial d'Abel
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En mathématiques, et plus précisément en algèbre, le théorème binomial d'Abel, dû à Niels Henrik Abel, est l'identité polynomiale suivante[1],[2],[3], valide pour tout entier naturel :
Quand on l'évalue en , on retrouve la formule du binôme de Newton, et pour , on retrouve que la différence finie est nulle[1].
Variantes
- La variante
- est le cas particulier du théorème.
- Réciproquement, quand on remplace par et par , on retrouve le cas général.
- En remplaçant par , on déduit de cette première variante[4] :
- .
- Réciproquement, la première variante se déduit de la deuxième en remplaçant par .
- On peut de même remplacer par dans le théorème.
- On peut bien sûr remplacer par dans le théorème. Ceci, précédé d'un remplacement de par , donne comme théorème équivalent[5] :
- .
- En effectuant le changement d'indice dans le théorème et ses variantes, on en trouve de nouvelles. Par exemple, la deuxième variante ci-dessus devient[6] :
- .
- Il est également possible de déduire la variante suivante[7] :
- .
Exemple
Vérifions la première variante dans le cas .
Démonstration
Considérons les polynômes (à coefficients dans )
et démontrons, par récurrence sur , que pour tout .
- On a bien .
- Supposons que pour un certain , . Alors, les polynômes dérivés de et sont égaux car
. Par ailleurs, . Par conséquent,
Références
- ↑ a et b (de) N. H. Abel, « Beweis eines Ausdruckes, von welchem die Binomial-Formel ein einzelner Fall ist », J. reine angew. Math, vol. 1, , p. 159-160 (lire en ligne).
- ↑ (en) Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, vol. 1 : Fundamental Algorithms (lire en ligne), chap. 1.2.6 (« Binomial coefficients ») équation (16) et exercices 50 à 52.
- ↑ Louis Comtet, Analyse combinatoire avancée (lire en ligne), p. 14.
- ↑ « Une identité d'Abel », sur les-mathematiques.net.
- ↑ (en) Charalambos A. Charalambides, Enumerative Combinatorics, CRC Press, (lire en ligne), p. 207.
- ↑ (en) Eric W. Weisstein, « Abel's binomial theorem », sur MathWorld, aux notations près.
- ↑ (en) E. Bellin, « Degrees in random uniform minimal factorizations », sur arXiv, , corollaire 12.
Voir aussi
Article connexe
Bibliographie
- (en) Henry W. Gould (en), Combinatorial Identities, A Standardized Set of Tables Listing 500 Binomial Coefficient Summations, (lire en ligne), p. 15, (1.117), (1.118) et (1.119)
- (en) Henry W. Gould et J. Quaintance (ed.), Tables of Combinatorial Identities, vol. 4, (lire en ligne), p. 18
- (en) He Tianxiao, Leetsch C. Hsu et Peter J. S. Shiue, « On Abel-Gontscharoff-Gould's polynomials », Analysis in Theory and Applications, vol. 19, no 2, , p. 166-184 (DOI 10.1007/BF02835242, lire en ligne)
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