Théorème d'irréductibilité de Hilbert

En théorie des nombres, le théorème d'irréductibilité de Hilbert, conçu par David Hilbert en 1892^[1], stipule que tout ensemble fini de polynômes irréductibles en plusieurs variables et à coefficients rationnels admet une spécialisation commune d'un sous-ensemble propre des variables en des rationnels tels que tous ces polynômes restent irréductibles. Sur le cas le plus simple, si P(X, Y) est un polynôme irréductible de Q[X, Y], alors il existe t rationnel tel que P(t, Y) soit irréductible dans Q[Y]. Ce théorème joue un rôle important en théorie des nombres.

Remarques.

• Il découle du théorème qu'il existe une infinité de tels r-uplets. En fait, l'ensemble de toutes les spécialisations irréductibles, appelé ensemble de Hilbert, est grand à bien des égards. Par exemple, cet ensemble est dense pour la topologie de Zariski dans ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{r}.}$
• Il y a toujours (une infinité) de spécialisations entières, c'est-à-dire que l'assertion du théorème est vraie même si l'on demande que a₁, ..., a_r soient des entiers.
• Il existe de nombreux corps hilbertiens (en), c'est-à-dire des corps satisfaisant le théorème d'irréductibilité de Hilbert. Par exemple, les corps de nombres sont hilbertiens^[2].
• La propriété de spécialisation irréductible énoncée dans le théorème est la plus générale. Un résultat de Bary-Soroker montre que pour qu'un corps K soit hilbertien il suffit de considérer le cas ${\displaystyle n=r=s=1}$ et ${\displaystyle f=f_{1}}$ absolument irréductible, c'est-à-dire irréductible dans l'anneau K^alg[X, Y], où K^alg est la clôture algébrique de K.

Le théorème d'irréductibilité de Hilbert a de nombreuses applications en théorie des nombres et en algèbre. Par exemple:

• Le problème de Galois inverse, motivation originelle de Hilbert. Le théorème implique presque immédiatement que si un groupe fini G peut être réalisé comme le groupe de Galois d'une extension galoisienne N de ${\displaystyle E=\mathbb {Q} (X_{1},\ldots ,X_{r}),}$ alors il peut être spécialisé en une extension galoisienne N₀ des rationnels avec G comme groupe de Galois^[3]. (Pour cela, prenons un polynôme unitaire irréductible f(X ₁, ..., X_n,Y) dont les racines engendrent N sur E. Si f (a₁, ..., a_n,Y) est irréductible pour certains a_i, alors une racine de celui-ci engendrera le N₀ annoncé.)
• Construction de courbes elliptiques de grand rang^[3].
• Le théorème d'irréductibilité de Hilbert est utilisé comme étape dans la preuve d'Andrew Wiles du dernier théorème de Fermat.
• Si un polynôme ${\displaystyle g(x)\in \mathbb {Z} [x]}$ est un carré parfait pour toutes les grandes valeurs entières de x, alors g(x) est le carré d'un polynôme dans ${\displaystyle \mathbb {Z} [x].}$ Cela découle du théorème d'irréductibilité de Hilbert avec ${\displaystyle n=r=s=1}$ et

  ${\displaystyle f_{1}(X_{1},Y_{1})=Y^{2}-g(X).}$ (Des preuves plus élémentaires existent.) Le même résultat est vrai lorsqu'on remplace « carré » par n'importe quelle autre puissance entière.

• (en) J.-P. Serre, Lectures on the Mordell-Weil Theorem, Vieweg, 1989
• (en) Michael D. Fried et Moshe Jarden (en), Field Arithmetic, Springer-Verlag, 205 (lire en ligne)
• (en) Helmut Völklein, Groups as Galois Groups, Cambridge University Press, 1996 (lire en ligne)
• (en) Gunter Malle (en) et B. Heinrich Matzat (de), Inverse Galois Theory, Springer, 1999 (lire en ligne)

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