Cet article concerne la théorie des nombres. Pour le théorème en analyse complexe, voir Théorème de Gauss-Lucas.
En théorie des nombres, le théorème de Lucas exprime le reste de la division du coefficient binomial par un nombre premier en termes du développement en base des entiers et .
Le théorème de Lucas a été publié en 1878 par Édouard Lucas[1].
Énoncé
Pour des entiers et positifs ou nuls et un nombre premier , on a la relation de congruence suivante :
où
et
sont les développements respectifs de et en base .
Corollaire
Un coefficient binomial est divisible par un nombre premier si et seulement si au moins un chiffre de en base est strictement plus grand que le chiffre correspondant de , auquel cas . Ce corollaire est aussi un corollaire du théorème de Kummer.
Démonstration utilisant la formule du binôme
Cette démonstration est due à Nathan Fine qui l'a publiée en 1947[2].
Si est un nombre premier, la formule du pion montre que est multiple de pour et que donc
Par récurrence, on en déduit que pour tout entier naturel :
Connaissant et , on peut écrire :
D'où le résultat.
Références
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lucas' theorem » (voir la liste des auteurs).
Edouard Lucas, « Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques », Amer. J. Math., vol. 1, no 2, , p. 184-196 (DOI 10.2307/2369308) lien Math Reviews (part 1) ;
Edouard Lucas, « Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques », Amer. J. Math., vol. 1, no 3, , p. 197-240 (DOI 10.2307/2369311) lien Math Reviews (part 2) ;
Edouard Lucas, « Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques », Amer. J. Math., vol. 1, no 4, , p. 289-321 (DOI 10.2307/2369373) lien Math Reviews (part 3).
↑Nathan Fine, « Binomial coefficients modulo a prime », American Mathematical Monthly, vol. 54, no 10, , p. 589–592 (DOI 10.2307/2304500, JSTOR 2304500)