Théorème de Poynting

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Le théorème de Poynting, énoncé par John Henry Poynting, concerne la conservation de l'énergie dans un champ électromagnétique. Il établit une relation entre énergie électromagnétique, effet Joule et le flux du vecteur de Poynting.

En termes informels, on peut dire que le flux du vecteur de Poynting à travers une surface fermée est égal à la somme de la variation d'énergie électromagnétique et de l'effet Joule dans le volume intérieur à la surface.

Histoire

L'éponyme[1],[2],[3] du théorème de Poynting[4],[5],[6] est le physicien anglais John Henry Poynting (-) qui l'a établi à partir de deux des équations de Maxwell[7] — celles de Maxwell-Faraday[5],[8] et de Maxwell-Ampère [5],[9] — et l'a publié en [1],[10].

Variation de l'énergie électromagnétique

Article détaillé : Énergie électromagnétique.

Le théorème énonce que pour tout volume :

− ∭ ∂ W e m ∂ t d τ = ∭ d i v Π → ⋅ d τ + ∭ ȷ → ⋅ E → d τ {\displaystyle -\iiint {\frac {\partial W_{em}}{\partial t}}\,\mathrm {d} \tau =\iiint \mathrm {div} \,{\vec {\Pi }}\cdot {\,\mathrm {d} \tau }+\iiint {\vec {\jmath }}\cdot {\vec {E}}{\,\mathrm {d} \tau }}

soit, sous forme locale, pour un volume d τ {\displaystyle d\tau }

− ∂ ∂ t ( ε 0 E 2 2 + B 2 2 μ 0 ) = d i v ( E → ∧ B → μ 0 ) + j → ⋅ E → {\displaystyle -{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {\varepsilon _{0}E^{2}}{2}}+{\frac {B^{2}}{2\mu _{0}}}\right)=\mathrm {div} \left({\frac {{\vec {E}}\wedge {\vec {B}}}{\mu _{0}}}\right)+{\vec {j}}\cdot {\vec {E}}}

soit dans le cas général

− ∂ ∂ t ( E → ⋅ D → 2 + B → ⋅ H → 2 ) = d i v ( E → ∧ H → ) + j → ⋅ E → {\displaystyle -{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {{\vec {E}}\cdot {\vec {D}}}{2}}+{\frac {{\vec {B}}\cdot {\vec {H}}}{2}}\right)=\mathrm {div} \left({\vec {E}}\wedge {\vec {H}}\right)+{\vec {j}}\cdot {\vec {E}}}

avec:

  • Π → {\displaystyle {\vec {\Pi }}} , vecteur de Poynting
  • E → {\displaystyle {\vec {E}}} , champ électrique
  • D → {\displaystyle {\vec {D}}} , induction électrique (ou déplacement électrique)
  • B → {\displaystyle {\vec {B}}} , champ magnétique
  • H → {\displaystyle {\vec {H}}} , excitation magnétique
  • j → {\displaystyle {\vec {j}}} , densité de courant
  • ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} , permittivité du vide
  • μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} , perméabilité du vide

Démonstration à partir des équations de Maxwell

On part de la forme différentielle, dans le cas où les relations D → = ε 0 E → {\textstyle {\vec {D}}=\varepsilon _{0}{\vec {E}}} et B → = μ 0 H → {\textstyle {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {H}}} sont vérifiées. Alors

d i v Π → = d i v E → ∧ B → μ 0 = − 1 μ 0 E → ⋅ r o t → B → + 1 μ 0 B → ⋅ r o t → E → {\displaystyle \mathrm {div} \;{\vec {\Pi }}=\mathrm {div} \;{\frac {{\vec {E}}\wedge {\vec {B}}}{\mu _{0}}}=-{\frac {1}{\mu _{0}}}{\vec {E}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\;{\vec {B}}+{\frac {1}{\mu _{0}}}{\vec {B}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\;{\vec {E}}}

en utilisant la formule d'analyse vectorielle d i v ( B → ∧ C → ) = C → ⋅ r o t → ( B → ) − B → ⋅ r o t → ( C → ) {\textstyle \mathrm {div} \left({\vec {B}}\wedge {\vec {C}}\right)={\vec {C}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {B}})-{\vec {B}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {C}})} . Sachant que par ailleurs on a : ∇ → × B → = μ 0 ȷ → + μ 0 ε 0 ∂ E → ∂ t {\textstyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {\jmath }}+\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}} (équation de Maxwell-Ampère), et ∇ → × E → = − ∂ B → ∂ t {\textstyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}} (équation de Maxwell-Faraday), cette quantité peut se réécrire sous la forme :

d i v Π → = − 1 μ 0 E → ⋅ ( μ 0 j → + μ 0 ε 0 ∂ E → ∂ t ) + 1 μ 0 B → ⋅ ( − ∂ B → ∂ t ) {\displaystyle \mathrm {div} \;{\vec {\Pi }}=-{\frac {1}{\mu _{0}}}{\vec {E}}\cdot \left(\mu _{0}{\vec {j}}+\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\right)+{\frac {1}{\mu _{0}}}{\vec {B}}\cdot \left(-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\right)}

Soit après simplification :

d i v Π → = − j → ⋅ E → − ε 0 E → ⋅ ∂ E → ∂ t − 1 μ 0 B → ⋅ ∂ B → ∂ t {\displaystyle \mathrm {div} \;{\vec {\Pi }}=-\;{\vec {j}}\cdot {\vec {E}}-\varepsilon _{0}{\vec {E}}\cdot {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}-{\frac {1}{\mu _{0}}}{\vec {B}}\cdot {\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}

Ou encore, en notant u = ε 0 E → 2 2 + B → 2 2 μ 0 {\textstyle u={\frac {\varepsilon _{0}{\vec {E}}^{2}}{2}}+{\frac {{\vec {B}}^{2}}{2\mu _{0}}}} la densité volumique d'énergie électromagnétique :

d i v Π → = − j → ⋅ E → − ∂ u ∂ t {\displaystyle \mathrm {div} \;{\vec {\Pi }}=-\;{\vec {j}}\cdot {\vec {E}}-{\frac {\partial u}{\partial t}}}

Notes et références

  1. ↑ a et b Chaichian et al. 2016, chap. 3, § 3.4, p. 131.
  2. ↑ Deshmukh 2019, chap. 13, § 13.1, p. 493.
  3. ↑ Wen 2010, chap. 1er, § 1.3.3, p. 23.
  4. ↑ Akbi 2021, chap. III, § 6.4, p. 138.
  5. ↑ a b et c Benson 2015, chap. 13, § 13.4, p. 535.
  6. ↑ Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v. Poynting (théorème de), p. 592, col. 1.
  7. ↑ Benson 2015, chap. 13, § 13.4, p. 534-535.
  8. ↑ Benson 2015, chap. 13, § 13.2, p. 527 (13.5).
  9. ↑ Benson 2015, chap. 13, § 13.2, p. 527 (13.6).
  10. ↑ Poynting 1884.

Voir aussi

Bibliographie

  • [Akbi 2021] Mohamed Akbi, Ondes électromagnétiques : cours, applications, exercices corrigés, Paris, Ellipses, coll. « Technosup / électromagnétisme », , 1re éd., VIII-395 p., 17,5 × 26 cm (ISBN 978-2-340-05453-0, EAN 9782340054530, OCLC 1274196875, BNF 46879944, SUDOC 257833846, présentation en ligne, lire en ligne).
  • [Benson 2015] Harris Benson (trad. de l'anglais, adapté par Mathieu Lachance, Bernard Marcheterre, Marc Séguin et Benoît Villeneuve), Physique [« University physics »], t. II : Électricité et magnétisme, Louvain-la-Neuve, De Boeck supérieur, coll. « Collection noire », , 5e éd. (1re éd. ), XXII-593 p., 21 × 2,75 cm (ISBN 978-2-8041-9380-5, EAN 9782804193805, OCLC 922973630, BNF 45137141, SUDOC 188663096, présentation en ligne, lire en ligne).
  • [Chaichian et al. 2016] (en) Masud Chaichian, Ioan Merches, Daniel Radu et Anca Tureanu, Electrodynamics : an intensive course, Berlin et Heidelberg, Springer, hors coll., (réimpr. ), 1re éd., XVII-669 p., 15,6 × 23,4 cm (ISBN 978-3-642-17380-6 et 978-3-662-56853-8, OCLC 1026470856, DOI 10.1007/978-3-642-17381-3, SUDOC 196320240, présentation en ligne, lire en ligne).
  • [Deshmukh 2019] (en) P. C. Deshmukh, Foundations of classical mechanics, Cambridge, CUP, hors coll., , 1re éd., XXX-560 p., 19,5 × 24,8 cm (ISBN 978-1-108-48056-7 et 978-1-108-72775-4, OCLC 1099275107, DOI 10.1017/9781108635639, SUDOC 256351058, présentation en ligne, lire en ligne).
  • [Poynting 1884] (en) J. H. Poynting, « On the transfer of energy in the electromagnetic field », Philosophical Transactions of the Royal Society, vol. 175,‎ , p. 343-361, article no XV (OCLC 8582165391, DOI 10.1098/rstl.1884.0016, JSTOR 109449, Bibcode 1884RSPT..175..343P, résumé, lire en ligne Accès libre [PDF]) — article reçu le et lu le .
  • [Taillet, Villain et Febvre 2018] Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck supérieur, hors coll., , 4e éd. (1re éd. ), X-956 p., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8073-0744-5, EAN 9782807307445, OCLC 1022951339, BNF 45646901, SUDOC 224228161, présentation en ligne, lire en ligne), s.v. Poynting (théorème de), p. 592, col. 1.
  • [Wen 2010] (en) Wen Geyi, Foundations of applied electrodynamics, Chichester, Wiley, hors coll., , 1re éd., XVIII-504 p., 17,3 × 25,2 cm (ISBN 978-0-470-68862-5, OCLC 758837767, DOI 10.1002/9780470661369, SUDOC 147978920, présentation en ligne, lire en ligne).

Articles connexes

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