En mathématiques, et plus précisément en théorie de la mesure, le théorème de Prokhorov relie le concept de tension à la compacité relative dans l'espace des mesures de probabilité, ou plus généralement des mesures finies. Ce théorème[1] porte le nom du mathématicien Iouri Prokhorov.
Définitions
Soit un espace topologique complètement régulier. Cette hypothèse couvre les deux cas particuliers importants : espace localement compact et espace métrisable.
désigne l'espace de Banach des fonctions continues bornées sur (muni de la norme uniforme) et le sous-espace des fonctions nulles à l'infini (c'est-à-dire les fonctions telles que pour tout , il existe un compact tel que ).
D'après le théorème de représentation de Riesz, le dual de est l'espace des mesures de Radon bornées. Il contient l'ensemble des mesures positives bornées et le sous-ensemble des mesures de probabilité.
Sur un espace complètement régulier, si un ensemble de mesures de probabilité est tendu, alors il est relativement compact[2] pour la topologie étroite.
La réciproque est vraie si l'espace vérifie une hypothèse un peu plus forte comme localement compact ou polonais.
Si l'espace est compact, la tension est trivialement toujours vérifiée en prenant , mais dans ce cas le théorème n'est qu'une expression inutilement compliquée du théorème de Banach-Alaoglu.
Démonstration
Sens direct.
Toute fonction continue bornée sur se prolonge de façon unique en une fonction continue sur le compactifié de Stone-Čech, et toute mesure de Radon bornée sur se prolonge en une mesure de Radon sur (mais il y a des mesures sur qui ne sont pas associées à des mesures sur ). La boule unité de est étroitement compacte (ou *-faiblement : les deux topologies coïncident puisque est compact), il suffit donc de montrer que la condition de Prokhorov implique que l'adhérence étroite de dans est contenue dans .
Pour tout compact la fonction indicatrice est « s.c.s. » (semi-continue supérieurement) et bornée, donc enveloppe inférieure de fonctions continues bornées sur , donc de fonctions continues sur ; la fonction est donc s.c.s. sur comme enveloppe inférieure des .
Appliquons cela à l'un des de l'énoncé. Soit . Il existe un voisinage de tel que , or ce voisinage rencontre , donc contient une probabilité telle que , donc .
Par conséquent, en prenant successivement , on obtient donc .
Réciproque : démonstration pour localement compact.
Soit une partie compacte de , et soit . Pour toute probabilité il existe un compact tel que . Comme est localement compact, a un voisinage ouvert d'adhérence compacte.
Le complémentaire de est un fermé tel que , et l'application est s.c.s. donc il existe un voisinage ouvert de tel que . Les sont un recouvrement ouvert de , on peut en extraire un sous recouvrement fini par . La réunion des est un compact tel que .
Généralisations
Une première généralisation, facile, passe des probabilités aux mesures positives finies :
Sur un espace complètement régulier, si un ensemble de mesures positives finies est tendu et borné (au sens de la norme sur ), alors il est relativement compact pour la topologie étroite.
La réciproque est vraie si l'espace vérifie une hypothèse un peu plus forte, par exemple localement compact ou polonais.
Démonstration
C'est une simple adaptation de la démonstration pour les probabilités :
Sens direct.
Soit tel que ( est bornée, donc il existe de tels ).
La boule fermée de rayon de est vaguement compacte, il suffit donc de montrer que la condition de Prokhorov implique que l'adhérence étroite de dans est contenue dans .
Soit et le compact associé. L'application est semi-continue inférieurement sur , donc pour toute mesure , il existe un voisinage (étroit) ouvert de tel que , et il existe , qui vérifie donc (en effet est portée par ). On en déduit .
On sait que ; en appliquant cela pour tous les , on obtient .
Réciproque : démonstration pour localement compact.
Soit étroitement compact dans .
Soit ; pour toute il existe un compact tel que .
Comme est localement compact, a un voisinage ouvert d'adhérence compacte.
Le complémentaire de est un fermé tel que , et l'application est s.c.s., donc il existe un voisinage ouvert de tel que . Les sont un recouvrement ouvert de , on peut en extraire un sous recouvrement fini par .
La réunion des est un compact tel que .
est borné car ; la fonction constante 1 étant évidemment continue bornée sur , l'ensemble des lorsque parcourt le compact étroit est borné.
Le théorème est encore vrai si l'on supprime l'hypothèse de positivité :
Sur un espace complètement régulier, si un ensemble de mesures finies est tendu et borné (au sens de la norme sur ), alors il est relativement compact pour la topologie étroite.
La réciproque est vraie si vérifie une hypothèse un peu plus forte, par exemple localement compact ou polonais.
Mais il faut prendre garde que la définition de la tension porte alors non pas sur les mesures elles-mêmes mais sur leurs variations totales. Les démonstrations données ci-dessus ne s'adaptent pas facilement à ce nouveau contexte, car l'application n'est pas étroitement continue.
Exemple : prendre sur les mesures de densité : la suite converge étroitement vers la mesure nulle mais la suite converge vers la mesure de densité constante ; variante : on prend comme précédemment, et ; la suite tend encore étroitement vers la mesure nulle, mais la suite diverge. De plus, les arguments de semi-continuité ne sont plus valables.
Bogachev 2007 donne une démonstration dans le cas où est un espace polonais, et des variantes et contre-exemples. Bourbaki 1969 et Jarchow 1981 donnent des démonstrations dans le cas général où est un espace complètement régulier.
Notes et références
↑(en) Yuri V. Prokhorov, « Convergence of random processes and limit theorems in probability theory », Theory Probab. Appl., vol. 1, no 2, , p. 157-214 (DOI10.1137/1101016).
↑Dans ou, ce qui revient au même, dans , puisque est étroitement fermé.
Laurent Schwartz, « Probabilités cylindriques et applications radonifiantes », J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, vol. 18, , p. 139-286, annoncé en 1969 dans une note aux CRAS
(en) Laurent Schwartz, Radon Measures on Arbitrary Topological Spaces and Cylindrical Measures, Oxford University Press, coll. « Tata Institute Monographs on Mathematics and Physics »,
Bourbaki, intégration chapitre 9 §5, Springer,
(en) V. I. Bogachev, Measure Theory, vol. 2, Springer,
(en) Hans Jarchow, Locally convex spaces, Teubner,