Théorème de densité de Tchebotariov
En théorie algébrique des nombres, le théorème de Tchebotariov, dû à Nikolai Tchebotariov et habituellement écrit[1] théorème de Chebotarev[2], précise le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet sur l'infinitude des nombres premiers en progression arithmétique : il affirme que, si a, q ≥ 1 sont deux entiers premiers entre eux, la densité naturelle de l'ensemble des nombres premiers congrus à a modulo q vaut 1/φ(q).
Énoncé
Le cadre du théorème de Tchebotariov est le suivant : on considère une extension galoisienne de corps de nombres, de groupe de Galois . Pour tout idéal entier de , on note la norme de .
Considérons un idéal premier de non ramifié dans , et soit un idéal premier de au-dessus de .
On montre qu'il existe un unique élément caractérisé par la relation suivante : pour tout élément , on a
Si n'est pas abélien, cela dépend du choix de : en effet, si est un autre idéal premier au-dessus de , il existe un élément tel que , et alors et sont conjugués dans .
On considère alors la classe de conjugaison , que l'on nomme symbole de Frobenius de dans , encore noté (par abus) . Remarquons que, si est abélien, cette classe est réduite à un seul élément.
Nous pouvons alors énoncer le théorème que Tchebotariov démontra dans sa thèse en 1922 :
Théorème de Tchebotariov — Soit une classe de conjugaison dans . Alors l'ensemble des idéaux premiers de , non ramifiés dans , et tels que , a pour « densité naturelle[3] » .
La version quantitative du théorème de la progression arithmétique de Dirichlet sur les nombres premiers en progression arithmétique en découle, en appliquant le théorème précédent à une extension cyclotomique de ℚ.
Notes et références
- ↑ Fautivement, par influence de l'anglais : voir Transcription du russe en français.
- ↑ Jean-Pierre Serre, « Quelques applications du théorème de densité de Chebotarev », Publ. Math. IHES, vol. 54, , p. 123-201 (lire en ligne).
- ↑ Pour la signification particulière de ce terme dans ce contexte, voir Serre 1981, p. 131.
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