Théorème des trois cercles de Hadamard
En analyse complexe, le théorème des trois cercles de Hadamard est un résultat sur le comportement d'une fonction holomorphe sur une couronne.
Énoncé
Soit f une fonction holomorphe sur l'ouvert et continue sur son adhérence .
On pose : .
Alors ln(M(r)) est une fonction convexe de ln r.
C'est-à-dire : .
De plus, si f(z) n'est pas de la forme A zB, alors ln(M(r)) est une fonction strictement convexe de ln r.
Démonstration
Le résultat peut se déduire du théorème des trois droites de Hadamard[1].
On pose et .
On a donc : .
Or g est holomorphe sur et continue sur .
Donc, par le théorème des trois droites de Hadamard, m est logarithmiquement convexe.
Or m = M ∘ exp, donc ln(M(r)) est bien une fonction convexe de ln r.
Histoire
John Edensor Littlewood donna en 1912 l'énoncé et une démonstration du théorème[2] mais ne l'attribua à personne en particulier, le considérant comme un théorème bien connu. Harald Bohr et Edmund Landau l'attribuèrent à Jacques Hadamard, qui l'avait énoncé en 1896, sans toutefois publier de preuve[3].
Annexes
Notes et références
- ↑ (en) David C. Ullrich, Complex Made Simple, vol. 97, AMS, coll. « Graduate Studies in Mathematics », , 489 p. (ISBN 978-0-8218-4479-3 et 0-8218-4479-2, lire en ligne), p. 387.
- ↑ J. E. Littlewood, « Quelques conséquences de l'hypothèse que la function ζ(s) de Riemann n'a pas de zéros dans le demi-plan Re(s) > 1/2 », Comptes rendus de l'Académie des sciences, no 154, , p. 263-266.
- ↑ (en) H. M. Edwards, Riemann's Zeta Function, Dover Publications, (ISBN 0-486-41740-9), section 9.3.
Bibliographie
(en) Edward Charles Titchmarsh, The Theory of the Riemann Zeta-Function, Oxford, Clarendon Press, , chap. 14
Lien externe
(en) « Proof of Hadamard three-circle theorem », sur PlanetMath
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