Théorème du bagel au pavot
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Le théorème du bagel au pavot (poppy-seed bagel theorem[1]) est un énoncé de physique mathématique décrivant les conditions pour que des particules se repoussant les unes les autres et confinées à une surface ou dans un volume s'y répartissent de manière uniforme.
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Le théorème s'applique lorsque la force de répulsion entre les particules est inversement proportionnelle à la distance entre celles-ci élevée à la puissance s, où s est un nombre positif. C'est donc par exemple le cas d'un ensemble d'électrons soumis à la loi de Coulomb, ou de particules soumises à des potentiels de Riesz[2] ou d'autres interactions décrites en théorie du potentiel[3].
Pour N particules, il existe un état d'équilibre stable dépendant de la valeur de s, qui minimise l'énergie potentielle associée au système. Dans le cas d'un grand nombre de particules, une telle configuration crée une discrétisation du sous-ensemble dans lequel sont contraintes les particules.
Le théorème du bagel précise les conditions pour lesquelles cette discrétisation est uniforme. Pour catégorie assez large de sous-ensembles, l'uniformité est vérifiée lorsque le paramètre est supérieur ou égal à la dimension du sous ensemble[4].
Par exemple, lorsque les points (les grains de pavot) sont confinés à la surface à 2 dimensions d'un tore (la surface d'un bagel), plongé dans un espace à 3 dimensions, si les points se repoussent avec une force proportionnelle à l'inverse du carré de leur distance (s = 2), les points se répartiront uniformément sur la surface du tore s'ils sont en nombre suffisant, puisque le tore est une surface de dimension deux. Toute force répulsive plus puissante (s > 2) aura la même propriété.
Définitions
Soit un paramètre s > 0 et un ensemble de N points dans un espace de dimension p. On définit la s-énergie des points comme suit:Pour tout sous-ensemble compact de l'espace, on définit son énergie minimale à N points par.où le minimum est pris sur tous les sous-ensembles de N points de A ; c'est-à-dire, . Une répartition de N points sur la surface A minimisant Es est appelée configuration de s-équilibre à N points
Théorème du bagel pour les parties mesurables
Supposons que l'ensemble soit compact et Lebesgue-mesurable de mesure et que . Pour tout , étant donnée une configuration d'équilibre à N points , on définit la mesure μNoù est une masse ponctuelle en . Sous ces hypothèses,
c'est-à-dire que la mesure μN converge (au sens de la convergence faible des mesures) vers la mesure μ, où μ est la mesure de Lebesgue restreinte à A ; soit, .
De plus, on aoù est une constante indépendante de l'ensemble et donc,où est le cube unité de .
Théorème du bagel pour les variétés
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Soit A une variété différentielle de dimension d plongée dans et σ une mesure géométrique sur cette variété. On suppose de plus que et . Pour chaque étant donnée une configuration minimale , on pose de mêmeAlors, on a[5],[6]la mesure μN converge (au sens de la convergence faible des mesures) vers la mesure μ, où μ est la mesure géométrique normalisée . Si est la mesure de Hausdorff de dimension d normalisée de sorte que , alors[5],[7]où est le volume d'une d-boule.
La constante Cs,p
Pour , on sait que , où est la fonction zêta de Riemann. En utilisant une approche basée sur une forme modulaire pour la programmation linéaire, Viazovska et ses coauteurs ont établi dans un article de 2022 qu'en dimensions et , les valeurs de , , sont donnés par la fonction zêta d’Epstein[8] associées respectivement au réseau E8 et au réseau de Leech[9]. On suppose que pour , la valeur de est déterminée de la même manière comme la valeur de la fonction zêta d'Epstein pour le treilis hexagonal. Enfin, pour toutes dimensions on sait que lorsque , la convergence de devient plutôt que , et la valeur de peut être calculée explicitement puisqu’elle est égale au volume de la p-boule[5] : Il existe une relation entre la constante et le problème de l'empilement compact de sphères[10] : où est le volume de la p-boule et où la borne supérieure est prise sur toutes les familles de boules unitaires qui ne se chevauchent pas de telle sorte que la limiteexiste.
Voir aussi
- Dimension de Hausdorff
- Théorie géométrique de la mesure
- Empilement de sphères
- Fonction zêta de Riemann
Références
- ↑ (en) « The Poppy-seed Bagel Theorem », sur ScienceDaily (consulté le )
- ↑ (en) Mathieu Lewin, « Coulomb and Riesz gases: The known and the unknown », Journal of Mathematical Physics, vol. 63, no 6, (ISSN 0022-2488 et 1089-7658, DOI 10.1063/5.0086835, lire en ligne, consulté le )
- ↑ (en) Michael E. Fisher, « The free energy of a macroscopic system », Archive for Rational Mechanics and Analysis, vol. 17, no 5, , p. 377–410 (ISSN 0003-9527 et 1432-0673, DOI 10.1007/BF00250473, lire en ligne, consulté le )
- ↑ (en) D.P. Hardin et E.B. Saff, « Discretizing Manifolds via Minimum Energy Points », Notices of the AMS, vol. 51, no 10, , p. 1186-1194 (lire en ligne [PDF])
- ↑ a b et c (en) D.P. Hardin et E.B. Saff, « Minimal Riesz energy point configurations for rectifiable d -dimensional manifolds », Advances in Mathematics, vol. 193, no 1, , p. 174–204 (DOI 10.1016/j.aim.2004.05.006, lire en ligne, consulté le )
- ↑ S. V. Borodachov, D. P. Hardin et E. B. Saff, « Asymptotics for discrete weighted minimal Riesz energy problems on rectifiable sets », Transactions of the American Mathematical Society, vol. 360, no 03, , p. 1559–1581 (DOI 10.1090/S0002-9947-07-04416-9, lire en ligne, consulté le )
- ↑ (en) A. Martínez-Finkelshtein, V. Maymeskul, E. A. Rakhmanov et E. B. Saff, « Asymptotics for Minimal Discrete Riesz Energy on Curves in ℝ d », Canadian Journal of Mathematics, vol. 56, no 3, , p. 529–552 (ISSN 0008-414X et 1496-4279, DOI 10.4153/CJM-2004-024-1, lire en ligne, consulté le )
- ↑ « Epstein zeta-function », Encyclopedia of Mathematics, EMS Press (consulté le )
- ↑
- ↑ (en) S. V. Borodachov, D. P. Hardin et E. B. Saff, « Asymptotics of best-packing on rectifiable sets », Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 135, no 08, , p. 2369–2381 (ISSN 0002-9939, DOI 10.1090/S0002-9939-07-08975-7, lire en ligne, consulté le )
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