En mathématiques, le théorème porte-manteau, théorème de Portmanteau ou de Portemanteau est un théorème de probabilité qui fournit une liste de caractérisations de la convergence en loi d'une suite de variables aléatoires.
D'un point de vue pratique, les propriétés 2 à 5 sont rarement utilisées pour démontrer la convergence en loi, mais la propriété 5 est certainement une conséquence importante de la convergence en loi. D'une part, la propriété 5 préfigure le théorème de l'application continue (en) ; par ailleurs la propriété 5 possède un cas particulier d'usage fréquent, dans le cas où E est la droite réelle :
Proposition — Si Xn converge en loi vers X, alors, dès que la fonction de répartitionF de X est continue en x, on a :
,
où Fn désigne la fonction de répartition de Xn .
Démonstration
Par définition d'une fonction de répartition, la propriété
qui est nul si et seulement si F est continue à gauche en x, i.e. si et seulement si F est continue en x (en effet, une fonction de répartition est partout continue à droite).
Cette proposition est en fait une équivalence[pas clair], et sert souvent, dans le cas des variables aléatoires réelles, de définition de la convergence en loi. En effet, d'un point de vue pédagogique, elle permet d'utiliser efficacement cette notion sans pour autant avoir eu à construire préalablement la théorie de la mesure.
Pour des variables discrètes
Dans le cas de variables aléatoires à valeurs dans un ensemble dénombrable, muni de la topologie discrète, le théorème porte-manteau donne un critère très simple de convergence en loi.
Proposition — Soient et des variables aléatoires à valeurs dans un ensemble dénombrable . alors converge en loi vers si et seulement si :
.
Démonstration
On remarque que, pour la topologie discrète, toute partie de est ouverte et fermée. Par conséquent la frontière de n'importe quelle partie est toujours vide. Ainsi, si l'on a la convergence en loi, on en déduit par le critère 5 du théorème porte-manteau que
.
Réciproquement, supposons que la limite ci-dessus est valable et fixons . Alors par le lemme de Fatou
.
Ainsi la convergence en loi est garantie par le critère 4 du théorème porte-manteau.
Enfin, dans le cas général, pour une fonction continue bornée , telle que , on se ramène au cas précédent en posant
de sorte que .
Historique
D'après Billingsley[5] ou Kallenberg[6], le théorème porte-manteau est dû à Alexandrov[7]. Dans la deuxième édition de Convergence of Probability Measures, Billingsley attribue le théorème à Jean-Pierre Portmanteau[8], de l'université de Felletin, dans un article de 4 pages que Jean-Pierre Portmanteau aurait publié en 1915 dans les Annales de l'Université de Felletin, sous le titre farfelu « Espoir pour l'ensemble vide ? ». Il s'agit d'un canular : il n'y a pas de mathématicien portant le nom de Jean-Pierre Portmanteau, et il n'y a jamais eu d'université à Felletin.
Notes et références
↑(en) Patrick Billingsley (en), Convergence of Probability Measures, Wiley, , 2e éd., 296 p. (ISBN978-0-471-19745-4), « The Portmanteau Theorem », p. 15-16.
↑(en) Patrick Billingsley, Convergence of Probability Measures, Wiley, , 1re éd., 263 p., p. 16.
↑(en) Olav Kallenberg (en), Foundations of Modern Probability, 2e éd. [détail de l’édition], Theorem 4.25 (Portmanteau theorem, Alexandrov), p. 75.
↑(en) A. D. Aleksandrov, « Additive set functions in abstract spaces », dans Mat. Sb., vol. 8, 1940, p. 307-348, vol. 9, 1941, p. 563-628 et vol. 13, 1943, p. 169-238.