Abc-sejtés
Az abc-sejtés két matematikai állítás összefoglaló neve, melyet David Masser (1985) és Joseph Oesterlé (1988) fogalmazott meg. Az egyik sejtés szerint az abc-számhármasok „minőségének” van egy maximális értéke. A másik sejtés pedig ezen minőségértékek számosságára tesz még szigorúbb kijelentést.
Az abc-sejtések kiemelt fontosságúak, mert egy sor másik matematikai sejtést lehet segítségükkel bizonyítani, vagy a már meglévő bizonyítások válhatnának egyszerűbbekké.
2012 szeptemberében Mocsizuki Sinicsi, a Kiotói Egyetem matematikusa azt nyilatkozta, hogy 500 oldalas tanulmányában sikerült bizonyítania a sejtés gyengébb állítását.[1]
A sejtés pontos megértéséhez először meg kell ismerkedni az abc-számhármasok fogalmával és ezek néhány tulajdonságával.
abc-számhármasok
Az abc-számhármas három olyan különböző pozitív egész szám, melyre igaz a következő három állítás mindegyike:
1. .
2. Az a és b számok relatív prímek, azaz nincs 1-nél nagyobb közös osztójuk. (Az első két feltétel következménye, hogy mind a három szám relatív prím.)
3. A c szám nagyobb, mint a három szám prímosztóinak szorzata (tehát abc radikálja, jele rad(abc)). Végtelen sok ilyen abc-számhármas van. A bizonyításhoz tekintsük az a = 1, b = 9n − 1, c = 9n számhármasokat, ahol n nullánál nagyobb egész. Ha minden n értékre abc-számhármast kapunk, igazoltuk, hogy végtelen sok ilyen számhármas létezik.
Mielőtt a bizonyítást elkezdenénk, lássunk be egy segédtételt: b = 9n − 1 mindig osztható 8-cal. Ehhez egy bizonyítási út az indukciós bizonyítás. n = 1 esetén b = 8, ami osztható nyolccal, az állítás igaz. Tegyük fel, hogy n = k-ra az állítás igaz, vagyis 9k − 1 osztható 8-cal.
Vizsgáljuk az n = k + 1 esetet: b = 9k + 1 − 1 = 9 · 9k − 1 = 9 · 9k − 1 − 9 + 9, hiszen ha ugyanazt a számot elvesszük és hozzáadjuk, az egyenlőség nem változik. Ezek után megváltoztatom az összeg tagjainak sorrendjét, amit szabadon megtehetek az összeadás kommutatív tulajdonsága miatt: b = 9 · 9k − 9 − 1 + 9. Az összeadás első két tagjából kiemelek 9-et, második két tagjánál pedig elvégzem az összeadást: b = 9 · (9k − 1) + 8. Az összeg első tagja osztható 8-cal az indukciós feltétel miatt, a második tagnál nyilvánvaló. Így b is osztható 8-cal, mivel az összeg minden tagja osztható vele.
Ennyi előkészítés után visszatérhetünk tételünk bizonyításához: Az nyilvánvaló, hogy az a és b legnagyobb közös osztója 1, és az a + b = c feltétel teljesül.
Mivel b osztható 8-cal, így b = 23 · m. A radikálnak a definícióból közvetlen következő tulajdonsága szerint rad(m) ≤ m. (Az egyenlőség négyzetmentes számok esetében áll fenn.) Ezért rad(b) ≤ 2 · m. rad(a) = 1 és rad(c) = 3. Mivel a, b, c páronként relatív prímek, rad(abc) = rad(a) · rad(b) · rad(c). Ezért rad(abc) ≤ 2 · 3 · m. Viszont c = 8 · m + 1, így igazolt, hogy c > rad(abc). Így beláttuk, hogy minden n értékre a, b, c egy abc-számhármas.
Az abc-számhármasok minősége
Az abc-számhármasokhoz hozzárendelhetünk egy mutatószámot (jele "q"). Ennek kiszámítása a harmadik feltételben is szereplő radikál segítségével történik, jele rad(abc). A minőség az a szám, ahányadik hatványra emelve a radikált, megkapjuk "c"-t.
Képlettel leírva: . Amiből következik, hogy a minőség számítása: .
Mivel az abc-számhármasok esetén a c szám mindig nagyobb, mint a radikál, a minőség mindig nagyobb, mint 1.
Az abc-sejtés állításai
A matematikusok azt vették észre, hogy az abc-számhármasok minőségértéke minden esetben elég alacsony szám. 1,63-ot elérő számhármast még senki sem talált. A gyengébbik sejtés pontosan ezt fogalmazza meg: az abc-számhármasok minősége egy konkrét számértéket sosem halad meg. (Hogy mi ez a számérték, az már másodlagos kérdés, általában 2-nél kisebb számra gondolnak.)
A második, erősebb állítás pedig így hangzik: Bármilyen minőség-értéket választunk is ki, csak véges sok annál nagyobb minőségű számhármas létezik.
Fogalmazzuk meg az állítást formálisan is: Minden ε > 0 számhoz létezik egy K > 0 konstans, hogy minden abc-számhármashoz (ahol a,b,c pozitív egész számok, a és b relatív prímek és a+b=c) teljesül: c < K * rad(abc)1+ε. (q > 1+ε jelöli azt a minőség értéket, ami szerint a tétel állítása szerint csak véges sok magasabb minőségű a,b,c számhármas van. Definíció szerint q=log(c)/log(rad(abc)) ezért log(c)>(1+ε)*log(rad(abc)); a logaritmus tulajdonságait figyelembe véve így log(c)>log(rad(abc)1+ε). Mivel a logaritmus függvény szigorúan monoton, így c > rad(abc)1+ε.); Viszont mivel a tétel állítása szerint az egyenlőtlenség jobb oldalának van maximuma, így található olyan K ('elegendően kicsi') konstans, hogy a tétel szerinti egyenlőtlenség teljesüljön. Ez egy szép példa arra, amikor a matematikában különben elkerülhetetlen formalizálás nehezebben érthetővé teszi a mögötte lévő gondolati lényeget.)
Még egy megjegyzés a formalizáláshoz: Egyes szakirodalmakban az egyenlőtlenség felírása meg van fűszerezve abszolút érték jelekkel, illetve előfordul a MAX(a,b,c) kitétel is. Ezekre az a+b+c=0 formalizmus esetén van szükség, amit az első (Masser és Oesterlé) abc-sejtésről szóló publikációk alkalmaztak. Ez logikailag teljesen egyenértékű az itt használt a+b=c formalizmussal.
Ha az erősebb állítás igaz, igaz a gyengébb is. Ha a gyengébb nem igaz, nem igaz az erősebb sem. Végül lehetséges, hogy csak a gyengébb igaz, az erősebb nem.
Ezek után felírhatjuk, hogy pontosan minek az igazolását jelentette be Mocsizuki Sinicsi: Max(a,b,c)<= K * rad(abc)L alkalmas K, L konstansokra - ami a sejtés gyengébb formájának az egyik változata.
Számítási példák
Keressünk abc-számhármast! Vegyünk két különböző pozitív egész számot (a-t és b-t), adjuk őket össze és megkapjuk c-t! Legyen a = 16, b = 17, vagyis c = 33.
Az első feltétel tehát ezzel adott. A második feltétel ellenőrzéséhez fel kell bontani a három számot prímtényezőire:
a = 2 · 2 · 2 · 2
b = 17 (önmagában prím, nem bontható tovább)
c = 3 · 11
Látható tehát, hogy közös prímtényező semelyik két számban nem fordul elő. A 16-osban csak 2-es prímtényező van, a 17-esben csak a 17-es, a 33-asban pedig a 3-as és 11-es, nincs köztük átfedés sehol.
Végül nézzük a harmadik feltételt! Ehhez ki kell számítani abc radikálját. Vesszük az összes előforduló prímosztót, a 2-t, 17-et, 3-at és 11-et, és összeszorozzuk őket. A radikál tehát: 2 · 17 · 3 · 11 = 1122. Mivel ez nagyobb, mint a c szám, a harmadik feltétel nem teljesült, ez nem egy abc-számhármas.
Próbálgatásokkal is rájöhetünk, hogy a legtöbb számhármas nem abc-számhármas.
Vegyünk azért egy pozitív példát is: a = 5, b = 27, vagyis c = 32. Prímtényezők:
a = 5 (önmagában prím, nem bontható tovább)
b = 3 · 3 · 3
c = 2 · 2 · 2 · 2 · 2
Látjuk, hogy közös prímosztójuk nincs, a második feltétel teljesül. A radikál értéke 5 · 3 · 2 = 30. Ez tehát kisebb, mint a c szám, tehát találtunk egy abc-számhármast.
Nézzük meg, mekkora ennek a számhármasnak a minősége (8 tizedesjegyre kerekítve): q = log (32) / log (30) = 1,50514997 / 1,47712125 = 1,01897523, tehát 1-nél alig nagyobb érték.
A legnagyobb minőségű abc-számhármast Eric Reyssat találta 2004-ben. Itt a = 2, b = 6436341, c = 6436343. Prímtényezőjük:
a = 2
b = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 109
c = 23 · 23 · 23 · 23 · 23
A radikál tehát 2 · 3 · 109 · 23 = 15042, ami pedig jóval kisebb a c számnál.
Számoljuk ki a minőséget: q = log(6436343) / log(15042) = 6,80863918 / 4,17730558 = 1,62991168. Ennél nagyobb minőséget eddig még nem találtak.
Kis radikálú példák
Az ε > 0 kikötésre szükség van, mivel végtelen sok a, b, c hármas van, amire rad(abc) < c. Egyszerű példa a következő:
- a = 1
- b = 26n − 1
- c = 26n
ahol a és c egy kettes szorzó erejéig járul hozzá a radikálhoz, és mivel b osztható 9-cel, azért rad(abc) < 2c/3. A 6n kitevőt módosítva b-nek nagyobb négyzetosztói lesznek. Például, ha 6n helyett p(p-1)n-et írunk, ahol p prímszám, akkor b osztható lesz p2-tel, mivel 2p(p-1) ≡ 1 (mod p2) és 2p(p-1) - 1 tényezője lesz b-nek. A legnagyobb minőségű hármasok alább láthatók; a legnagyobb minőséget Eric Reyssat találta (Lando & Zvonkin 2004, p. 137):
- a = 2
- b = 310 109 = 6 436 341
- c = 235 = 6 436 343
- rad(abc) = 15 042
aminek minősége 1,6299.
Számítógépes módszerek
2006-ban a hollandiai Leideni Egyetem és a Kennislink tudományos intézet elindította az ABC@Home projektet, amely nyilvános számítógépes hálózat segítségével keresi az abc-számhármasokat. Az alábbi listát állították össze 2011-ben, és a munka jelenleg is folyik.
q > 1 | q > 1,05 | q > 1,1 | q > 1,2 | q > 1,3 | q > 1,4 | |
---|---|---|---|---|---|---|
c < 102 | 6 | 4 | 4 | 2 | 0 | 0 |
c < 103 | 31 | 17 | 14 | 8 | 3 | 1 |
c < 104 | 120 | 74 | 50 | 22 | 8 | 3 |
c < 105 | 418 | 240 | 152 | 51 | 13 | 6 |
c < 106 | 1268 | 667 | 379 | 102 | 29 | 11 |
c < 107 | 3499 | 1669 | 856 | 210 | 60 | 17 |
c < 108 | 8987 | 3869 | 1801 | 384 | 98 | 25 |
c < 109 | 22316 | 8742 | 3693 | 706 | 144 | 34 |
c < 1010 | 51677 | 18233 | 7035 | 1159 | 218 | 51 |
c < 1011 | 116978 | 37612 | 13266 | 1947 | 327 | 64 |
c < 1012 | 252856 | 73714 | 23773 | 3028 | 455 | 74 |
c < 1013 | 528275 | 139762 | 41438 | 4519 | 599 | 84 |
c < 1014 | 1075319 | 258168 | 70047 | 6665 | 769 | 98 |
c < 1015 | 2131671 | 463446 | 115041 | 9497 | 998 | 112 |
c < 1016 | 4119410 | 812499 | 184727 | 13118 | 1232 | 126 |
c < 1017 | 7801334 | 1396909 | 290965 | 17890 | 1530 | 143 |
c < 1018 | 14482059 | 2352105 | 449194 | 24013 | 1843 | 160 |
2012 szeptemberéig 23,1 millió abc-számhármast találtak, és bejelentették, hogy 1020 alatti "c"-re megtalálták az összeset.[3]
q | a | b | c | Felfedező | |
---|---|---|---|---|---|
1 | 1,6299 | 2 | 310·109 | 235 | Eric Reyssat |
2 | 1,6260 | 112 | 32·56·73 | 221·23 | Benne de Weger |
3 | 1,6235 | 19·1307 | 7·292·318 | 28·322·54 | Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski |
4 | 1,5808 | 283 | 511·132 | 28·38·173 | Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski, Abderrahmane Nitaj |
5 | 1,5679 | 1 | 2·37 | 54·7 | Benne de Weger |
Elméleti eredmények
Az abc-sejtés feltételeiből következik, hogy c korlátozható az abc radikáljával, ami egy nemlineáris függvény. Emellett ismertek a következő exponenciális korlátok:
- (Stewart & Yu 1991), és
ahol
- K1 egy alkalmasan megválasztott konstans, ami nem függ a-tól, b-től vagy c-től
- K2 és K3 csak ε-tól függ
Ezek a korlátok érvényesek minden hármasra, ahol c > 2.
Következményei
Az abc-sejtés számos következménye között találhatók már ismert eredmények, és találhatók más sejtések is, amelyek az abc-sejtés bizonyítása esetén szintén bizonyítottá válnak.
- A nagy Fermat-tétel a legismertebb példa. Az abc-sejtés felhasználásával elemi módszerekkel is beláthatóvá válna n>5 esetére. Az n= 3,4,5 esetekre viszont régről ismertek elemi bizonyítások. (Granville 2002)
- A nagy Fermat-tétel általánosítása, a Fermat–Catalan-sejtés. (Pomerance 2008)
- A Thue–Siegel–Roth-tétel az algebrai számok diofantoszi approximációjáról.
- A Mordell-sejtés, ma a Faltings-tétel speciális esete. (Elkies 1991)
- Az Erdős–Woods-sejtés néhány ellenpéldát kivéve. (Langevin 1993)
- Végtelen sok nem-Wieferich-prím létezése. (Silverman 1988)
- A Marshall Hall-sejtés gyengítése négyzet- és köbszámok szétválasztására. (Nitaj 1996)
- A Legendre-szimbólum felhasználásával alkotott L(s,(−d/.)) Dirichlet-féle L függvénynek nincs Siegel-zérója. Ehhez azonban az abc-sejtés általánosabb formáját kellene belátni számtestekre. (Granville 2000)
- Ha P(x) polinomfüggvény, és x egész, akkor P(x)-nek csak véges sok teljes hatványa van legalább három egyszerű nullával.[5]
- A Tijdeman-tétel általánosítása megoldásszámára, sőt, a Pillai-sejtés megoldásszámára
- Ekvivalens a Granville–Langevin-sejtéssel
- Ekvivalens a módosított Szpiro-sejtéssel. (Oesterlé 1988).
- Minden egész A-ra véges sok megoldása van az n! + A= k2 egyenletnek. Dąbrowski (1996)
Általánosításai
(Baker 1998) egy erősebb egyenlőtlenséget javasolt, ahol rad(abc)-t ε−ωrad(abc) helyettesíti, ahol ω a, b és c különböző prímosztóinak összesített száma.(Bombieri & Gubler 2006, p. 404).
Andrew Granville sejtése szerint a bal oldalra írhatnánk azt is, hogy O(rad(abc) Θ(rad(abc))), ahol Θ(n) azoknak az n-nél nem nagyobb egészeknek a száma, amelyeknek nincs más prímtényezői, mint n-nek.
(Browkin & Brzeziński 1994) megalkotta az n-sejtést, egészekre.
Hivatkozások
- ↑ Az index.hu híre
- ↑ Synthese resultaten, <http://www.rekenmeemetabc.nl/?item=h_stats>. Hozzáférés ideje: January 1, 2011 Archiválva 2008. december 22-i dátummal a Wayback Machine-ben (hollandul).
- ↑ Data collected sofar, <http://abcathome.com/data/>. Hozzáférés ideje: September 10, 2012 Archiválva 2014. május 15-i dátummal a Wayback Machine-ben
- ↑ 100 unbeaten triples. Reken mee met ABC, 2010. november 7. [2014. október 25-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2012. szeptember 26.)
- ↑ Archivált másolat. [2009. február 5-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2012. szeptember 30.)
- Az abc-sejtés honlapja (angolul)
- Peter Woit blogja
- Nature-cikk (2012)
Források
- Baker, Alan. Logarithmic forms and the abc-conjecture, Number theory. Diophantine, computational and algebraic aspects. Proceedings of the international conference, Eger, Hungary, July 29-August 2, 1996. Berlin: de Gruyter, 37-44. o. (1998). ISBN 3-11-015364-5
- Heights in Diophantine Geometry, New Mathematical Monographs. Cambridge University Press. DOI: 10.2277/0521846153 (2006). ISBN 978-0-521-71229-3
- Browkin, Jerzy (1994). „Some remarks on the abc-conjecture”. Math. Comp. 62 (206), 931–939. o. DOI:10.2307/2153551.
- Browkin, Jerzy. The abc-conjecture, Number Theory, Trends in Mathematics. Basel: Birkhäuser, 75–106. o. (2000). ISBN 3-7643-6259-6
- Dąbrowski, Andrzej (1996). „On the diophantine equation ”. Nieuw Archief voor Wiskunde, IV. 14, 321–324. o.
- Elkies, N. D. (1991). „ABC implies Mordell”. Intern. Math. Research Notices 7 (7), 99–109. o. DOI:10.1155/S1073792891000144.
- Goldfeld, Dorian (1996). „Beyond the last theorem”. Math Horizons (September), 26–34. o.
- The Princeton Companion to Mathematics. Princeton: Princeton University Press, 361–362, 681. o. (2008). ISBN 978-0-691-11880-2
- (2000) „ABC implies no "Siegel zeros" for L-functions of characters with negative exponent”. Inventiones Mathematicae 139, 509–523. o.
- (2002) „It’s As Easy As abc”. Notices of the AMS 49 (10), 1224–1231. o.
- Guy, Richard K.. Unsolved Problems in Number Theory. Berlin: Springer-Verlag (2004). ISBN 0-387-20860-7
- Lando, Sergei K.. Graphs on Surfaces and Their Applications. Springer-Verlag (2004). ISBN 3-540-00203-0
- Langevin, M. (1993). „Cas d'égalité pour le théorème de Mason et applications de la conjecture abc”. Comptes rendus de l'Académie des sciences 317 (5), 441–444. o. (franciául)
- Masser, D. W. (1985), "Open problems", in Chen, W. W. L., Proceedings of the Symposium on Analytic Number Theory, London: Imperial College
- Nitaj, Abderrahmane (1996). „La conjecture abc”. Enseign. Math. 42 (1–2), 3–24. o. (franciául)
- Oesterlé, Joseph (1988), "Nouvelles approches du "théorème" de Fermat", Astérisque, Séminaire Bourbaki exp 694 (no. 161): 165–186, MR992208, ISSN 0303-1179, <http://www.numdam.org/item?id=SB_1987-1988__30__165_0>
- Pomerance, Carl. Computational Number Theory, The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press, 361–362. o. (2008)
- Silverman, Joseph H. (1988). „Wieferich's criterion and the abc-conjecture”. Journal of Number Theory 30 (2), 226–237. o. DOI:10.1016/0022-314X(88)90019-4.
- Stewart, C. L. (1986). „On the Oesterlé-Masser conjecture”. Monatshefte für Mathematik 102 (3), 251–257. o. DOI:10.1007/BF01294603.
- Stewart, C. L. (1991). „On the abc conjecture”. Mathematische Annalen 291 (1), 225–230. o. DOI:10.1007/BF01445201.
- Stewart, C. L. (2001). „On the abc conjecture, II”. Duke Mathematical Journal 108 (1), 169–181. o. DOI:10.1215/S0012-7094-01-10815-6.
Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap