Banach-tér
![]() | A „Tér” lehetséges további jelentéseiről lásd: Tér (egyértelműsítő lap). |
A Banach-tér a modern analízis egyik alapvető fogalma. Teljes normált vektorteret értünk alatta, vagyis olyan vektorteret, mely a normából származtatott metrikára nézve teljes. A funkcionálanalízis egy központi objektuma. Sok végtelen dimenziós függvénytér Banach-tér.
A pontos definíció tehát a következő:
A vektortér Banach-tér pontosan akkor, ha értelmezett rajta egy ||.|| norma, melyre teljesül, hogy a belőle összefüggéssel származtatott távolságra nézve a tér teljes, vagyis a térben minden Cauchy-sorozat konvergens.
Metrikus tereknél a teljesség a metrika tulajdonsága, nem pedig magáé a topologikus téré. Ekvivalens metrikára (ami ugyanazt a topológiát generálja) áttérve a teljesség elveszhet. Azonban ekvivalens normákkal ez nem történhet meg; azaz, ha az egy norma által indukált metrikában teljes a tér, akkor a vele ekvivalens normák által indukált metrikákban is teljes. A normált terek esetén a teljesség a norma által indukált topológia tulajdonsága, ami független a konkrét normától.
Elnevezés
A Banach-tér elnevezés Stefan Banach lengyel matematikus nevét őrzi, aki 1920–1922-ben Hans Hahnnal és Eduard Hellyvel közösen tanulmányozta.[1] 1932-es monográfiájában (Théorie des opérations linéaires, Varsó) tárgyalta először részletesen és rendszeresen a teljes normált vektorterek tulajdonságait. A Banach-terek fogalmának egyébként magyar vonatkozása is van: a Banach-terekkel foglalkozó szakemberek a Banach-terek prototípusának az elsőként Riesz Frigyes magyar matematikus által tárgyalt tereket szokták tekinteni. A Banach-tér tehát tekinthető úgy, mint az terek absztrahálásából született fogalom.
Példák
1. Az ( ) terek olyan sorozatokból álló normált terek, mely elemeinek vektorként való értelmezésében annak p-normája véges. Ezen sorozatokból álló halmazok Banach-terek.
2. Az adott intervallumon folytonos függvények tere Banach-tér a szuprémum normával.
3. Az adott intervallumon korlátos változású függvények tere Banach-tér.
4. Az -dimenziós euklideszi terek Banach-terek. Így természetesen a valós számok R halmaza is Banach-teret alkot.
5. A komplex számokból képzett -dimenziós vektorok Cn tere is Banach-teret alkot.
A továbbiakban az vagy a test, kompakt Hausdorff-tér, pedig zárt intervallum. Legyenek és valós számok úgy hogy és . Legyenek továbbá szigma-algebra, halmazalgebra és mérték.
Jelölés | Duális tér | Reflexív | Gyenge Teljes | Norma | Név |
---|---|---|---|---|---|
igen | igen | Euklidészi tér | |||
igen | igen | Véges dimenziós vektorok tere a p-normával | |||
igen | igen | Véges dimenziós vektorok tere a maximumnormával | |||
igen | igen | Az abszolútértékek p-edik hatványában összegezhető sorozatok tere | |||
nem | igen | Az abszolútértékben összegezhető sorozatok tere | |||
nem | nem | A korlátos sorozatok tere | |||
nem | nem | A konvergens sorozatok tere | |||
nem | nem | A nullsorozatok tere; izomorf, de nem izometrikus -vel | |||
nem | igen | A korlátos változású sorozatok tere | |||
nem | igen | A korlátos változású nullsorozatok tere | |||
nem | nein | A korlátos összegek tere; izometrikusan izomorf -hez | |||
nem | nem | A konvergens összegek tere; zárt altere; izometrikusan izomorf -hez | |||
nem | nem | A korlátos -mérhető -en értelmezett függvények tere | |||
nem | nem | Az -en értelmezett folytonos függvények a Borel-σ-algebrával | |||
? | nem | igen | A korlátos végesen additív előjeles mértékek -n | ||
? | nem | igen | A σ-additív mértékek; zárt altere | ||
? | nem | igen | A reguláris Borel-mértékek tere; zárt altere | ||
igen | igen | A p-edik hatványukban Lebesgue-integrálható függvények | |||
? | nem | igen | A korlátos változású függvények tere | ||
? | nem | igen | A korlátos változású függvények tere, melyek határértéke -ban eltűnik | ||
nem | igen | Az abszolút folytonos függvények tere; izomorf a Szoboljev-térhez | |||
nem | nem | A sima függvények tere; izomorf -hez |
Néhány fontos tulajdonság
A Banach-terek tekinthetők a Hilbert-terek általánosításának, mivel minden Hilbert-tér egyben Banach-tér is.
Megfordítva: egy Banach-tér pontosan akkor Hilbert-tér (vagyis pontosan akkor származtatható normája valamely skalárszorzatból), ha a tér feletti norma teljesíti a paralelogrammaazonosságot (ez a Jordan–Neumann-tétel).
Véges dimenziós normált vektorterek mind Banach-terek, hiszen az azonos dimenziójúak topologikusan izomorfak (véges dimenziós térben minden norma ekvivalens).
Banach-térbe ható korlátos lineáris transzformációk maguk is Banach-teret alkotnak.
Egy normált tér pontosan akkor Banach-tér, ha minden abszolút konvergens sorozat konvergens.
Minden normált tér teljessé tehető, így egy Banach-teret kapunk, ami a normált teret sűrű altérként tartalmazza.
Ha egy két normált tér közötti lineáris leképezés izomorfizmus, akkor, ha teljes, akkor is teljes.
Minden véges dimenziós normált tér Banach-tér. Megfordítva, ha egy Banach-tér bázisa legfeljebb megszámlálható végtelen, akkor az véges dimenziós. Ez utóbbi a teljes metrikus terekre vonatkozó Baire-tételből következik.
Ha zárt altere az Banach-térnek, akkor szintén Bach-tér. Az faktortér is Banach-tér az normával.
A Banach-terek első izomorfiatétele: Ha egy két Banach-tér közötti korlátos lineáris leképezés képe zárt, akkor . Itt a topologikus izomorfia fogalmáról van szó, vagyis létezik egy bijektív lineáris leképezés, ami leképezi az teret a térre, hogy és is folytonos.
Normált terek egy direkt összege pontosan akkor Banach-tér, ha az összeg minden tagja Banach-tér.
A Banach–Steinhaus-tétel szerint, ha Banach-térből normált térbe menő folytonos lineáris operátorok egy családja, akkor a pontonkénti korlátosságból következik az egyenletes korlátosság.
A nyílt leképezés tétele: Egy két Banach-tér közötti folytonos lineáris leképezés pontosan akkor szürjektív, ha nyílt. Ha bijektív és folytonos, akkor a inverz leképezés is folytonos. Ebből következik, hogy minden Banach-terek közötti bijektív korlátos lineáris operátor izomorfizmus.
A zárt grafikon tétele: Egy lineáris leképezés grafikonja pontosan akkor zárt az szorzattérben, ha a leképezés folytonos.
Banach–Alaoglu-tétel: Egy Banach-tér duális terében egy zárt egységgyolyó gyengén *-kompakt.
Minden szeparábilis Banach-térben létezik egy zárt altere -nek úgy, hogy .
Minden Banach-tér egyben Fréchet-tér.
Lineáris operátorok
Ha és normált terek ugyanazon valós vagy komplex test fölött, akkor az összes folytonos -lineáris leképezés halmazát jelöli.
Végtelen dimenziós terekben a lineáris leképezések nem feltétlenül folytonosak.
Ekkor egy -vektortér, melyen
norma. Ha Banach-tér, akkor is Banach-tér.
Ha Banach-tér, akkor Banach-algebra az identitásoperátorral, mint egységelemmel. A szorzás a kompozíció.
Duális tér
Ha normált tér a test fölött, akkor szintén Banach-tér az abszolútértékkel, mint normával. Értelmezhető a topologikus duális tér, mint . Általában a algebrai duális tér valódi altere.
- Ha normált tér, akkor Banach-tér.
- Legyen normált tér; ekkor, ha szeparábilis, akkor is szeparábilis.
A topologikus duális tér használható arra, hogy topológiát definiáljunk az téren: a gyenge topológiát. A gyenge topológia nem ekvivalens az normája által indukált topológiájával, ha dimenziója végtelen. A normatopológiában való konvergenciából következik a gyenge topológiában való konvergencia, megfordítva azonban nem. Ebben az értelemben a gyenge topológiából adódó konvergenciafeltétel gyengébb.
Létezik egy természetes leképezés -ből -be, a biduális térre, úgy, mint: minden és esetén. A Hahn–Banach-tételből következik, hogy minden -beli -re az folytonos, ezért egy eleme. Az leképezés injektív és folytonos, sőt, izometrikus.
Reflexivitás
Ha a leképezés szürjektív is, így izometrikus izomorfizmus, akkor az normált tér reflexív.
Minden reflexív normált tér Banach-tér.
Egy Banach-tér pontosan akkor reflexív, ha reflexív. Ezzel az állítással ekvivalens, hogy egységgolyója a gyenge topológiában kompakt.
Ha reflexív normált tér, Banach-tér és létezik egy korlátos lineáris operátor -ből -ba, akkor reflexív.
Legyen reflexív normált tér; ekkor pontosan akkor szeparábilis, ha is szeparábilis.
James-tétel: Egy Banach-térre ekvivalensek:
- reflexív.
- , ahol , teljesül, hogy .
Tenzorszorzás
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/88/Tensor-diagram.jpg/220px-Tensor-diagram.jpg)
Legyenek és vektorterek ugyanazon test fölött! Ekkor és tenzorszorzata egy fölötti vektortér, ellátva egy bilineáris leképezéssel, amire teljesül az univerzális tulajdonság: Ha tetszőleges bilineáris leképezés egy fölötti vektortérben, akkor létezik pontosan egy lineáris leképezés úgy, hogy .
Különböző lehetőségek vannak a tenzorszorzat normával való ellátására; így keletkezik például a projektív tenzorszorzat és az injektív tenzorszorzat. Teljes terek tenzorszorzata nem feltétlenül teljes. Emiatt a Banach-terek elméletében tenzorszorzaton gyakran a terek tenzorszorzatának teljessé tételét értik, ami függ az alkalmazott normától.
Besorolása a matematikai struktúrák közé
Minden Hilbert-tér Banach-tér is, de ez megfordítva nem igaz. A Jordan–Neumann-tétel szerint egy Banach-tér pontosan akkor látható el a normához illeszkedő skalárszorzattal, ha teljesíti a paralelogrammaegyenlőséget.
A funkcionálanalízisben fontos terek egyike például a végtelenszer folytonosan differenciálható függvények tere, vagy az -en értelmezett disztribúciók tere teljesek, de mivel nem normált vektorterek, azért nem Banach-terek. A Fréchet-terekben van még teljes metrika is, míg az LF-terek teljes uniform vektorterek, melyek a Fréchet-terek határeseteként felmerülnek. Itt lokálisan konvex terek, illetve topologikus vektorterek speciális osztályairól van szó.
Minden normált tér izometrikus izomorfia erejéig egyértelműen teljessé tehető, ami azt jelenti, hogy sűrű altérként Banach-térbe ágyazható.
Fréchet-derivált
Lehetséges típusú függvényeket is deriválni, ahol és Banach-terek. Intuició szerint, ha a Banach-tér eleme, akkor deriváltja az pontban egy folytonos lineáris leképezés, ami az pont közelében az függvényt a távolság rendjében approximálja.
Az függvény Fréchet-differenciálható az pontban, hogyha van egy folytonos lineáris leképezés úgy, hogy
- .
Itt a határérték az összes, nullvektor elemet nem tartalmazó -beli sorozaton van értelmezve, ami a nullvektorhoz tart. Ha ez a határérték létezik, akkor azt mondjuk, hogy , és ez Fréchet-deriváltja az pontban. A derivált további általánosításai véges dimenziós terek analízisével analóg módon vezethetők be. Az összes deriváltfogalomban közös a lineáris leképezés folytonossága.
A deriváltnak ez a fogalma az függvények közönséges deriváltjának egy általánosítása, mivel az összes lineáris leképezés konstanssal való szorzás.
Ha az függvény minden pontjában differenciálható, akkor szintén Banach-terek közötti leképezés, de általában nem lineáris leképezés. Ez is ugyanúgy differenciálható lehet, így magasabb rendű deriváltjai is definiálhatók. Az -beli -edik derivált egy multilineáris leképezés.
A differenciálás lineáris leképezés a következő értelemben: Ha és leképezések, melyek differenciálhatók ugyanabban az pontban, továbbá és skalárok -ból, akkor is differenciálható az pontban, és
- .
A láncszabály is teljesül ebben az összefüggésben. Ha -ben és -ben differenciálható, akkor differenciálható az pontban, és a derivált:
Az irány menti deriváltak is általánosíthatók végtelen dimenziós vektorterekre; erre egy lehetőség a Gâteaux-derivált.
Banach-térbeli értékű függvények integrációja
Bizonyos feltételek teljesülése esetén lehetséges értékeiket Banach-térből felvevő függvényeket integrálni. A 20. században több különböző megközelítés is született az értékeiket Banach-térből felvevő függvények integrációjának elméletéhez. Ezek közé tartozik a Bochner-integrál, a Birkhoff-integrál és a Pettis-integrál. Véges dimenziós Banach-terekben mindezek a megközelítések ugyanahhoz az integrálhoz vezetnek, de ez végtelen dimenzióban nem feltétlenül teljesül. Távolabbról az áttérés a közönséges mértékekről a vektoriális mértékekre való áttérésről lehet beszélni, melyek értékeiket Banach-terekből veszik fel, és integrált definiálni ezeken a mértékeken.
A Banach-terek a Bochner–Lebesgue-normával típus és kotípus szerint osztályozhatók.
Jegyzetek
- ↑ A. Pietsch. History of Banach spaces and linear operators. Boston, Mass.: Birkhäuser (2007. augusztus 14.)
Források
- Járai Antal (2002): Mérték és integrál. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest.
- Kérchy László (1997): Bevezetés a véges dimenziós vektorterek elméletébe. Polygon, Szeged.
- Mikolás Miklós (1978): Valós függvénytan és ortogonális sorok. Tankönyvkiadó, Budapest.
- Szőkefalvi-Nagy Béla (1972): Valós függvények és függvénysorok. Tankönyvkiadó, Budapest.
- Simonovits András: Válogatott fejezetek a matematika történetéből. 148. old. Typotex Kiadó, 2009. ISBN 978-963-279-026-8
- John B. Conway. A Course in Functional Analysis (angol nyelven). New York, NY: Springer New York (2007)
- Hans Wilhelm Alt. Lineare Funktionalanalysis, 6., átdolgozott (német nyelven), Berlin Heidelberg: Springer (2012)
- Bernard Beauzamy. Introduction to Banach spaces and their geometry, Elsevier Science Pub. Co. (North-Holland) (angol nyelven) (1982)
- Joe Diestel. Sequences and series in Banach spaces, Springer-Verlag (angol nyelven) (1984)
- Nelson Dunford, Jacob T. Schwartz. Linear Operators 1 – General theory (angol nyelven). New York: Wiley Interscience Publ (1988)
- Joram Lindenstrauss, Lior Tzafriri. Classical Banach spaces, Reprint of the 1977, 1979 ed (angol nyelven), Berlin Heidelberg: Springer (1996)
- Robert E. Megginson. An Introduction to Banach Space Theory (angol nyelven). New York, NY: Springer New York (1998)
- Albrecht Pietsch. History of Banach Spaces and Linear Operators (angol nyelven). Boston, MA: Birkhäuser Boston (2007)
- Raymond A. Ryan. Introduction to Tensor Products of Banach Spaces (angol nyelven). London: Springer London (2002)
- Prof. Dr. A. Deitmar: Funktionalanalysis (PDF, 2011/2012, 497 KB)
- Stefan Banach: Théorie des opérations linéaires. Warszawa 1932. Monografie Matematyczne; Zwei Rezensionen (1933 und 2017) lásd még: Zbl 0005.20901
Fordítás
Ez a szócikk részben vagy egészben a Banachraum című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.