C*-algebra
A matematikában a C*-algebra olyan Banach-algebra, mely el van látva egy, az adjungálás (konjugált transzponálás) tulajdonságaival rendelkező involúcióval.
A C*-algebrákat először a kvantummechanikában alkalmazták megfigyelhető mennyiségek algebráinak leírására, Werner Heisenberg munkája során. A formalizmust matematikailag magasabb szintre Pascual Jordan fejlesztette 1933 körül. Ezt követően a C*-algebrák egyik fontos alosztályával foglalkozott Neumann János, amiket azóta Neumann-algebráknak vagy W*-algebráknak hívunk. Végül a C*-algebrák absztrakt definícióját Israel Gelfandnak és Mark Naimarknak köszönhetjük.
A C*-algebrák fontos eszközei a lokálisan kompakt csoportok unitér reprezentációelméletének, továbbá a kvantummechanika algebrai módszerekkel való kifejezésének. Ezen módszer különösebb sikereket ért el olyan spinlánc-modellek tanulmányozásában és általánosításában, mint az AKLT-modell vagy a Majumdar-Ghosh-modell.[1][2]
Alapismeretek és definíciók
Komplex asszociatív algebrának nevezünk egy olyan komplex vektorteret, melyen a szorzás asszociatív (átzárójelezhető) és bilineáris. Az algebra egységelemének nevezzük azt az egyedi nemnulla elemet, mely minden -re teljesíti a következőt:
- .
Amennyiben az vektorteret az asszociatív algebra struktúrája mellett ellátjuk egy normával, amely szub-multiplikatív, tehát minden elemre teljesül:
- ,
egy normált algebrát kapunk. Ha ebben a normált algebrában minden Cauchy-sorozat konvergens (tehát teljes), az algebrát Banach-algebrának hívjuk. Amennyiben az algebra rendelkezik egységelemmel, további feltétel, hogy annak normája 1 legyen.
Egy Banach-algebrát egy leképezéssel (ahol ) *-algebrának hívunk, amennyiben:
- A leképezés minden -re involutív:
- ,
- minden -ra:
- ,
- továbbá minden komplex -ra:
Egy *-algebrát akkor hívunk C*-algebrának, amennyiben a következő feltétel is teljesül:
Egy C*-algebrák közötti korlátos lineáris operátort *-homomorfizmusnak nevezünk, amennyiben a következők teljesülnek:
- és
Egy bijektív *-homomorfizmust C*-izomorfizmusnak hívunk, és amennyiben és C*-algebrák között létezik egy ilyen hozzárendelés, az algebrákat izomorfnak hívjuk.
Példák
![]() | Ez a szakasz egyelőre üres vagy erősen hiányos. Segíts te is a kibővítésében! |
Véges dimenziós C*-algebrák
A komplex mátrixok algebrája () egy C*-algebra, ha a mátrixokat komplex n-dimenziós vektorokon ható operátoroknak tekintjük és ellátjuk őket az operátornormával. Ebben az esetben az involúció a konjugált transzponálás (adjungálás).
Operátorok C*-algebrái
Az egyik legismertebb példája a C*-algebráknak a komplex Hilbert-téren definiált korlátos lineáris operátorok algebrája (), amennyiben két további feltétel teljesül: topológiai értelemben zárt a norma által indukált topológiában, és minden -ba tartozó operátor adjungáltja is az algebához tartozik. A Gelfand-Naimark-tétel szerint minden C*-algebra *-izomorf egy szubalgebrájával, megfelelő -ra.
Neumann-algebrák
A Neumann-algebrák, más néven W*-algebrák a C*-algebrák egy speciális alosztálya, melyek a gyenge operátor-topológia szerint zártak. A Sherman–Takeda-tétel szerint bármely C*-algebra duális terének duálisa egy W*-algebra.
Fizikai jelentősége
Kvantummechanikában lehetséges a fizikai rendszert egységelemmel rendelkező C*-algebrával leírni, melynek önadjungált (azaz olyan elemek, melyekre igaz) elemeit megfigyelhető mennyiségeknek tekintjük. A kvantumállapotot a C*-algebrán definiált pozitív lineáris funkcionál írja le, tehát egy olyan -lineáris , melyre teljesül minden -ra. Amennyiben a rendszer állapotban van, adott mennyiség várható értéke lesz.
Jegyzetek
- ↑ Fannes, M., Nachtergaele, B. & Werner, R.F. (1992). „Finitely correlated states on quantum spin chains”. Commun.Math. Phys. 144, 443–490. o. DOI:10.1007/BF02099178.
- ↑ Nachtergaele, B. (1996). „The spectral gap for some spin chains with discrete symmetry breaking”. Commun.Math. Phys. 175, 565–606. o. DOI:10.1007/BF02099509.
Források
- Arveson, W. (1976), An Invitation to C*-Algebra, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90176-0.
- Connes, Alain (1994), Non-commutative geometry, ISBN 0-12-185860-X, <https://archive.org/details/noncommutativege0000conn>.
- Doran, Robert S. & Belfi, Victor A. (1986), Characterizations of C*-algebras: The Gelfand-Naimark Theorems, CRC Press, ISBN 978-0-8247-7569-8.
- Emch, G. (1972), Algebraic Methods in Statistical Mechanics and Quantum Field Theory, Wiley-Interscience, ISBN 0-471-23900-3.
- Sakai, S. (1971), C*-algebras and W*-algebras, Springer, ISBN 3-540-63633-1.
- Segal, Irving (1947), "Irreducible representations of operator algebras", Bulletin of the American Mathematical Society 53 (2): 73–88, DOI 10.1090/S0002-9904-1947-08742-5.
Fordítás
Ez a szócikk részben vagy egészben a C*-algebra című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap