Cantor-féle közösrész-tétel

A Cantor-féle közösrész-tétel az analízis egyik igen fontos tétele. Általában a valós számok halmazában szokás kimondani, de természetesen vannak általánosításai is. Alapvetően a valós számok halmazának szerkezetéről tesz egy igen fontos észrevételt, ennek megfelelően pedig nem csak tételként, de más irányú felépítést választva akár axiómaként is hivatkozhatunk rá.

A tételnek igen sokrétű alkalmazásai vannak, többek között az analízis egy másik központi jelentőségű tételének, a Bolzano–Weierstrass-tételnek a bizonyításában is szerepet játszik.

Magát a tételt sok formában lehet kimondani, a szemlélettől függően.

Legyen ${\displaystyle \left(F_{i}\right)_{i\in I}}$ R-beli korlátos, zárt és nemüres halmazok rendszere. Ha ez lefelé irányított, azaz minden α, β indexek esetén van olyan γ index, hogy ${\displaystyle F_{\gamma }\subseteq F_{\alpha }\cap F_{\beta }}$, akkor a halmazrendszer metszete nem üres. Másképpen:

${\displaystyle (\forall \alpha ,\beta \in I:(\exists \gamma \in I:F_{\gamma }\subseteq F_{\alpha }\cap F_{\beta }))\Rightarrow (\exists r\in \mathbb {R} :r\in \bigcap _{i\in I}F_{i})}$

Ha adott olyan zárt intervallumok halmaza, amelyek alsó határa monoton növekvő, felső határa monoton csökkenő sorozat,^[1] akkor ezek közös része nem üres. Röviden mondva egymásba skatulyázott intervallumoknak van közös pontja. Ennek a tételnek különösen a numerikus matematikában, egészen pontosan a gyökközelítő eljárásokban van jelentős szerepe. Másképpen:

${\displaystyle (<a_{n}>{\text{monoton nő}}\wedge <b_{n}>{\text{monoton csökken}}\wedge (\forall i\in \mathbb {N} :a_{i}\leq b_{i}))\Rightarrow (\exists \lambda \in \mathbb {R} :(\forall i\in \mathbb {N} :\lambda \in \left[a_{i},b_{i}\right]))}$

Egy metrikus tér nemüres, kompakt halmazai lefelé irányított rendszerének metszete sem üres.

${\displaystyle \left(M,d\right),I\neq \emptyset ,\left(K_{i}\right)_{i\in I},\forall i\in I:(K_{i}\in M,K_{i}\neq \emptyset ,K_{i}{\text{ kompakt}}),\forall i,j\in I:(\exists k\in I,K_{k}\subseteq K_{i}\cap K_{j})\Rightarrow \bigcap _{i\in I}K_{i}\neq \emptyset }$

A tételt az állító részének szemlélete szerint többféleképpen is bizonyíthatjuk.

A valós számok teljes rendezettsége következtében vehetjük a rendszer bármely halmazának a pontos felső korlátját, azaz

${\displaystyle \forall i\in I:\exists \mathrm {sup} \left(F_{i}\right).}$

A lefelé irányítottság, azaz

${\displaystyle \forall \alpha ,\beta \in I:\left(\exists \gamma \in I:F_{\gamma }\subseteq F_{\alpha }\cap F_{\beta }\right)}$

miatt a belső halmaz korlátjai a két tartalmazó halmaz korlátjai között van:

${\displaystyle \mathrm {inf} \left(F_{\alpha }\right)\leq \mathrm {inf} \left(F_{\gamma }\right)\leq \mathrm {sup} \left(F_{\gamma }\right)\leq \mathrm {sup} \left(F_{\alpha }\right).}$

Ez pedig azt jelenti, hogy a halmazrendszer szuprémumainak halmaza alulról korlátos. Ezt nem nehéz belátni, ugyanis bármely rögzített index esetén az így kiválasztott halmaz infimuma alsó korlátja lesz a halmaznak az egyenlőtlenségek alapján. Sőt, ennél még több is mondható - mégpedig, hogy a halmaz infimuma a teljes rendszer közös részének eleme, azaz

${\displaystyle \lambda =\mathrm {inf} \left(\left\{\mathrm {sup} \left(F_{\alpha }\right)|\alpha \in I\right\}\right)\in \bigcap _{i\in I}F_{i}}$

Rögzítsük ugyanis egy tetszőleges ${\displaystyle \alpha \in I}$ indexű tagját a rendszernek, és mutassuk meg, hogy a fenti λ érték ennek eleme. Sőt, mivel a rendszer minden tagja zárt, ezért elegendő azt megmutatni, hogy eleme a kiválasztott tag lezártjának. Válasszunk hát egy tetszőleges ${\displaystyle r<0}$ valós számot, és igazoljuk, hogy a kiválasztott tag nem diszjunkt a λ körüli r sugarú nyílt gömbbel, azaz

${\displaystyle F_{\alpha }\cap B_{r}\left(\lambda ,\mathbb {R} \right)\neq \emptyset .}$

A valós számok körében a nyílt gömbök a nyílt halmazok, azaz

${\displaystyle B_{r}\left(\lambda ,\mathbb {R} \right)=\left]\lambda -r,\lambda +r\right[.}$

Mivel ${\displaystyle \lambda +r>\lambda }$, már nem lehet alsó korlátja a ${\displaystyle \left\{\mathrm {sup} \left(F_{\alpha }\right)|\alpha \in I\right\}}$ halmaznak, ezért van olyan ${\displaystyle \beta \in I}$ index, hogy ${\displaystyle \mathrm {sup} \left(F_{\beta }\right)<\lambda +r}$. Mivel a rendszer lefelé irányított, van olyan tagja, ami az ${\displaystyle F_{\alpha }}$ és ${\displaystyle F_{\beta }}$ halmaznak is része, azaz

${\displaystyle \exists \gamma :F_{\gamma }\subseteq F_{\alpha }\cap F_{\beta }.}$

Ekkor

${\displaystyle \lambda -r<\lambda \leq \mathrm {sup} \left(F_{\gamma }\right),}$

amiből következik, hogy van olyan ${\displaystyle \lambda '\in F_{\gamma }}$ elem, hogy ${\displaystyle \lambda -r<\lambda '}$. Erre vonatkozólag megállapíthatjuk, hogy

${\displaystyle \lambda -r<\lambda '\leq \mathrm {sup} \left(F_{\gamma }\right)\leq \mathrm {sup} \left(F_{\beta }\right)<\lambda +r,}$

és a lefelé irányítottság miatt ${\displaystyle \lambda '\in F_{\alpha }}$, ami szerint

${\displaystyle \lambda '\in F_{\alpha }\cap \left]\lambda -r,\lambda +r\right].}$

Mivel a rögzített elemere nem tettünk semmilyen kikötést, ez a rendszer bármely tagjára igaz, így ebből már következik, hogy a teljes rendszer metszete sem üres, amit pedig bizonyítani akartunk.^[2]

A feltételekből következik, hogy

${\displaystyle \forall {m,n\in \mathbb {N} },m<n:a_{n}\geq {a_{m}}\wedge {b_{n}\leq {b_{m}}}.}$

Másrészt az

${\displaystyle a_{m}\leq {a_{n+m}}<{b_{n+m}}\leq {b_{n}}}$

egyenlőtlenségből következik, hogy az ${\displaystyle <a_{n}>}$ sorozat felülről korlátos.

A valós számok teljesen rendezettségéből következik, hogy létezik a ${\displaystyle \alpha =\mathrm {sup} <a_{n}>}$ szám. Erre érvényes az ${\displaystyle \alpha \leq {b_{n}}}$ egyenlőtlenség is, hiszen a feltétel értelmében minden ${\displaystyle b_{n}}$ szám is felső korlát. Ebből következik, hogy

${\displaystyle \forall {n\in \mathbb {N} }:a_{n}\leq \alpha \leq {b_{n}},}$

és eszerint, az intervallumok definíciója alapján

${\displaystyle \alpha \in \bigcap _{i=1}^{n}\left[a_{n},b_{n}\right].}$

A lefelé irányítottság következménye, hogy az halmazrendszer minden részrendszerének közös része tartalmaz a rendszerből egy elemet:

${\displaystyle \forall {H}\subseteq {I}:\left(\exists {k}\in {I}:K_{k}\subseteq \bigcap _{h\in {H}}K_{h}\right).}$

Rögzítsünk egy ${\displaystyle \alpha \in {I}}$ indexet. Ekkor vehetjük azt az ${\displaystyle \left(\Omega _{i}\right)_{i\in {I}}}$ halmazrendszert, amire

${\displaystyle \Omega _{i}=M\setminus \left(K_{i}\cap {K_{\alpha }}\right).}$

Ez nyílt halmazrendszer lesz.

Most indirekt bizonyítunk. Tegyük fel, hogy a metszet üres. Ekkor

${\displaystyle \bigcup _{i\in {I}}\Omega _{i}=M\setminus \bigcap _{i\in {I}}\left(K_{i}\cap {K_{\alpha }}\right)=M.}$

Ez egy nyílt befedése a ${\displaystyle K_{\alpha }}$ kompakt halmaznak, ezért a kompaktság definíciója szerint van a fedőrendszernek véges részbefedése:

${\displaystyle \exists {J}\subseteq {I}:K_{\alpha }\subseteq \bigcup _{j\in {J}}\Omega _{j}}$

Eszerint pedig

${\displaystyle K_{\alpha }\cap \left(\bigcap _{j\in {J}}K_{j}\right)=\emptyset .}$

Ennek következtében a

${\displaystyle H=J\cup \left\{\alpha \right\}\subseteq {I}}$

nemüres, véges halmazhoz van olyan index, amelyhez tartozó halmaz a rendszerben üres:

${\displaystyle \exists {k\in {I}}:K_{k}\subseteq \bigcap _{i\in {H}}K_{i}=K_{\alpha }\cap \left(\bigcap _{i\in {J}}K_{i}\right)=\emptyset ,}$

ami nem lehet, mert a feltevés szerint a rendszer nemüres halmazokból áll.

1. Vegyük észre, hogy R az euklideszi metrikával metrikus tér, valamint a zárt halmazok a Borel-Lebesgue lefedési tétel alapján kompaktak, ezért a metrikus terekben érvényes forma egyben tartalmazza a valós számokra vonatkozó állítást.
2. Az egymásba skatulyázott intervallumok egyben lefelé irányított halmazrendszert is alkotnak, ezért a valós számokra vonatkozó tételnek egy speciális esetét alkotják.
3. A tétel a halmazelméletben bizonyítható, azonban létezik a valós számoknak olyan felépítése is, ahol ez axióma. Ebben az esetben természetesen nem bizonyítjuk, ellenben bizonyítható belőle a bizonyításban kihasznált, a kiválasztási axiómával ekvivalens jólrendezési tétel.
4. A tétel a valós számok egyik fontos tulajdonságát, a halmaz folytonosságát jellemzi.

• Kristóf János: Az analízis elemei, 1994, ELTE Budapest, egyetemi tankönyv
• Rimán János: Matematikai analízis, 1998, EKTF Líceum kiadó, ISBN 963 7752 55 2