Ciklois
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/69/Cycloid_f.gif)
Általánosan a ciklois olyan görbe, amelyet egy irányított görbén csúszás nélkül legördülő kör egy meghatározott pontja ír le.[1] A gyakorlatban azoknak a cikloisoknak van jelentősége, melyeknél az irányított görbe egyenes, illetve kör.
A cikloisok olyan ruletták, amelyeknél a legördülő görbe kör. Ruletták azok a görbék, amelyeket úgy származtatnak, hogy egy álló görbén csúszás nélkül legördítenek egy másik görbét.
Csúcsos ciklois
Ha az álló görbe egyenes, az ezen legördülő kör kerületi pontja származtatja a közönséges vagy csúcsos cikloist.
Egyenlete
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4f/Cycloid04.png/400px-Cycloid04.png)
Vegyünk egy sugarú kört az -síkon, melynek középpontja a helyen van. Jelöljük ki azt a pontját, ahol az -tengellyel érintkezik. Miközben a kör forog, e pont mozgása rajzolja ki a cikloist. Legyen a paraméter a kör szöggel való elfordulása az óramutató járásával megegyező irányba. A elfordulás függvényében az elfordult kör középpontja: . Ekkor a középpontpól a megfigyelt pontba mutató vektor nem más, mint a középpontból lefelé mutató vektor szöggel elforgatva. Felírható, hogy
- ,
ahol a szöggel negatív irányba való elforgatás mátrixa:
Átrendezve és behelyettesítve:
- ,
vagy más alakban:
- .
Ez a görbe mindenhol deriválható, kivéve a csúcspontjaiban, amelyek az x-tengelyen vannak, itt a derivált tart a vagy -hez (az érintő függőleges). Kielégíti az alábbi közönséges differenciálegyenletet:
Az iránytangens értéke, ha az érintő szöge :
- :
Területe
Egy sugarú kör által generált ciklois íve parametrikus alakban:
a
tartományban. Mivel
írható, hogy az ív alatti terület:
Ívhossza
A ciklois s ívhossza az alábbiak szerint számítható:
Alkalmazása
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f9/Petite_brachistochrone.gif)
A ciklois az úgynevezett brachisztochron-probléma megoldása. Ez a probléma annak a görbének a megkeresése, melyen a leggyorsabban legurul súrlódásmentes esetet feltételezve egy golyó az állandónak modellezett nehézségi erő hatására. A golyó mozgásának periódusideje (amíg a golyó az egyik véghelyzetből az ellenkező oldalra gurul és vissza az eredeti pozíciójába) nem függ az indítás magasságától akkor, ha az ellenállásokat elhanyagoljuk.
A valóságos inga lengésideje csak kis kitérések esetén független közelítőleg a kitérítés nagyságától. A valóságban a kitéréstől függ a lengésidő. A ciklois analízise vezette el Huygenst ahhoz a felismeréshez, hogyan lehet pontos, kitérítéstől független lengésidejű (izochron) ingát készíteni.
Műszer fogaskerekeknél (például mechanikus szerkezetű óráknál) többnyire ciklois fogprofilú fogaskerekeket használnak. A ciklois profilú fogaskerék ellenkerekének profilja szintén ciklois. Előnyei között van az, hogy kisebb fogszámú kerekek készíthetőek ciklois fogazással, mint az általában elterjedt evolvensfogazással alámetszés nélkül.
Története
A cikloist először Nicolaus Cusanus vizsgálta, majd később Marin Mersenne. A görbe nevét Galileo Galileitől kapta 1599-ben. 1634-ben Gilles de Roberval igazolta, hogy a ciklois alatti terület háromszorosa a generáló kör területének. 1658-ban Christopher Wren igazolta, hogy a ciklois ívhossza a generáló kör kerületének négyszerese. A cikloist a geométerek "szép Helenéjének" nevezték, mert a 17. század matematikusai között annyi viszályt szított.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4e/Cykloidy.svg/350px-Cykloidy.svg.png)
Rokon görbék
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/18/Hypocycloid_animated.gif/300px-Hypocycloid_animated.gif)
A nyújtott ciklois hasonlóan jön létre, mint a csúcsos ciklois, de a pont, melynek nyoma a görbe lesz, nem a generáló kör kerületén, hanem a kör területén belül helyezkedik el. A hurkolt ciklois generáló pontja a kör területén kívül van. Parametrikus egyenletük:
A hurkolt cikloisnál
a nyújtott cikloisnál
A csúcsos, nyújtott és hurkolt cikloist együttesen trochoidnak nevezik. Ha a görbe, melyen a generáló kör legördül, nem egyenes, hanem szintén kör, amely a kör kerületén kívül gördül le, akkor epitrochoidról beszélünk, ha a generáló kör az álló körön belül gördül le, akkor hipotrochoidról beszélünk. Ezek egy speciális fajtája az epiciklois, illetve a hipociklois, melyek csúcsos cikloisok. A nyújtott, illetve hurkolt epicikloisnak és hipocikloisnak nincs külön elnevezése.
Rajzoló eszköz
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d8/Ciklois.jpg/500px-Ciklois.jpg)
A trochoidok közül a fizikai megvalósítást figyelembe véve a nyújtott cikloisok megvalósítása a legegyszerűbb, mivel ekkor egy körön belüli pontot kell választanunk. A görbét generáló kör csúszásmentes legördülését az elemek fogazásával lehet biztosítani. A mellékelt képen egy 11 darabból álló, különböző fogszámú műanyag körlapból álló készlet látható. Az egyes elemeken több lyuk van a rajzoló ceruzahegy számára. A legnagyobb elem külső-belső fogazással készült; ezt rögzítve a belső fogazás és bármelyik másikkal alkalmas hipotrochoid rajzolására, míg epitrochoidot bármely két elem párosításával rajzolhatunk. Ha valamelyik külső fogazású elemet rögzítjük, akkor a legnagyobb elemet belső fogazatával legördítve egy hurkolt epitrochoidot rajzolhatunk.
További információk
![Commons:Category:Cycloid](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/50px-Commons-logo.svg.png)
- Magyarított interaktív Flash szimuláció különböző cikloisok animált szemléltetésére. Szerző: David M. Harrison