Collatz-sejtés
![]() | A matematika megoldatlan problémája: Vajon a Collatz-sorozat eléri-e az 1 értéket minden pozitív egész kiindulási érték esetén? (A matematika további megoldatlan problémái) |
A Collatz-sejtés egy máig megoldatlan probléma a matematikában. Több más néven is ismert, például Ulam-sejtés vagy 3n+1 probléma. A sejtés a nevét Lothar Collatzról kapta, aki 1937-ben fogalmazta meg azt.
A probléma a következő: Tetszőleges pozitív egész számból kiindulva képezzünk végtelen sorozatot úgy, hogy ha a sorozat utoljára kiszámított eleme páros, akkor a rákövetkező elem ennek fele lesz, különben viszont a háromszorosánál eggyel nagyobb szám. Például ha a 7-ből indulunk ki (amely páratlan), akkor a rákövetkező elem , amely páros, így a következő elem a 22 fele, azaz 11 lesz. Tovább folytatva a szabály alkalmazását a 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, ... sorozatot kapjuk. Látható, hogy innentől a végtelenségig ismétlődik a 4, 2, 1 számhármas. Különböző számokból kiindulva azt tapasztaljuk, hogy újra meg újra olyan sorozatokat kapunk, amelyek a 4, 2, 1 számhármas végtelen ismétlődésébe torkollnak. A Collatz-sejtés azt mondja ki, hogy ez mindig így van: akármilyen pozitív számmal is kezdjük a sorozat képzését, a végén mindig a 4, 2, 1 ciklusba futunk bele. Egyelőre megoldatlan probléma annak eldöntése, hogy a sejtés helyes-e.[1]
A sejtés megfogalmazása
Legyen egy tetszőleges pozitív egész szám. A sorozat szabálya a következő:
A sejtés szerint a sorozat egy -tól függő értéktől kezdve ugyanazt a ciklust fogja ismételni minden kiindulási érték esetén: . Azt a legkisebb számot, amitől kezdve ismétlődik a sorozat, megállási időnek nevezzük. Így a sejtés átfogalmazható: A fenti rekurziós képlet esetén minden -ra van megállási idő.
Ha a sejtés hamis, akkor két lehetőségünk van:
- a sorozat olyan ciklusba fut bele, ami nem tartalmazza az 1-et;
- a sorozat minden határon túl növekszik.
Példák
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f1/All_Collatz_sequences_of_a_length_inferior_to_20.svg/220px-All_Collatz_sequences_of_a_length_inferior_to_20.svg.png)
esetén a sorozat:
esetén a sorozat kissé hosszabb: , és, mint látható, egészen 160-ig növekszik.
Ha az indulási szám 2-hatvány, a sorozat megállási ideje kicsi lesz, egészen pontosan , mivel csak a felezési iteráció történik meg. Ellenben Mersenne-prímek esetén először alkalommal növekedni fog a sorozat -ről indulva, mielőtt csökkenne.
Ciklusok
A ciklusok olyan szám-n-esek, amelyek periodikusan ismétlődnek. A ciklus triviális, a sejtés szerint minden sorozat tartalmazza.
A pontos definíció szerint -ból kiindulva az n-ciklus azt jelenti, hogy . Ha van ilyen ciklus, akkor a sejtés hamis.
A "rövidített" definíciója a ciklusoknak a következő:
Páratlan szám után ugyanis mindig páros következik. Így a ciklusokat a következőképpen jelölhetjük: , mivel .
Ebben az esetben növekedés után ugyanennyi csökkenés következik be, ezt k-ciklusnak nevezzük. A triviális ciklus az , ezt 1-ciklusnak nevezzük. Ez az egyetlen ismert ciklus, így a sejtés másik formája. 1977-ben Steiner igazolta, hogy kizárólag ez az 1-ciklus létezik. A bizonyítást felhasználva Simons igazolta 2000-ben, hogy nincs 2-ciklus. 2003-ban Simons és de Weger igazolta, hogy nincsen k-ciklus, ha .
Vizsgálatok
A legtöbb matematikus szerint a sejtés igaz, erre utalnak a kísérleti vizsgálatok.
Kísérleti tapasztalatok
Számítógépes módszerekkel a sejtést igazolták minden egészre. Ez magában nem jelenti a sejtés valószínűségének növekedését, mivel csak véges sok esetet lehet megvizsgálni a végtelen sokból. Előfordulhat ugyanis, hogy extrém nagy számok esetén találnak ellenpéldát, mint az történt például a Pólya-sejtés esetén. Éppen ezért a kérdést a kísérleti tapasztalatok nem támasztják alá megnyugtató módon.
Valószínűségi heurisztika
Ha csak a páratlan számokat vizsgáljuk a sorozatban, az egymást követő számok hányadosa körülbelül 3/4. Ez arra utal. hogy a sorozat egy idő után csökkenni kezd. Természetesen mindez csak a divergenciát cáfolja, a sejtést nem igazolja. Ez alapján annyit lehet mondani, hogy a sejtés igazolódásának valószínűsége 1 bármely számra, ami nem jelenti azt, hogy minden számra igaz. (Ez egyszerűen a valószínűség tulajdonságaiból fakad.)
Szigorú határok
Bár szigorúan nem sikerült még belátni minden számra, hogy igaz rá a sejtés, igen sokra teljesül. Krasikov és Lagarias igazolta, hogy az intervallumban az ilyen számok mennyisége arányos -nal.[2]
Érdekességek
Collatz maga nagyon nehéznek ítélte a problémát, azért sokáig nem is publikálta, csak az ismerőseinek beszélt róla. Már 1929-ben részt vett Göttingenben többek között gráfokat is említő előadásokon, és a 30-as években megfogalmazott kérdéseket, de csak az ötvenes évekből említik, hogy a konkrét sejtést szóban emlegette más matematikusoknak, és az első publikációk csak az 1970-es évek elején születtek meg.[2]
Erdős Pál szerint „a matematika nem áll készen az ilyen problémákra”. Ez nem akadályozta meg abban, hogy 500 dolláros díjat írjon ki a bizonyításáért.[3]
B. Thwaites 1000 dollárt ajánlott fel a probléma megoldásáért.[4]
John Horton Conway bebizonyította, hogy a sejtés általánosítása algoritmikusan eldönthetetlen probléma.[5]
Shizuo Kakutani megemlékezik egy viccről, ami szerint a Collatz-sejtést azért találták ki, hogy lelassítsák az amerikai matematikai haladást. Erre példának hozta fel, hogy egyszer egy teljes hónapig a Yale egyetem minden matematikusa a sejtést próbálta bizonyítani.
Források
- ↑ Eric W. Weisstein írása a MathWorld oldalon
- ↑ a b "Jeffrey C. Lagarias". „"The 3x+1 Problem: An Overview"”.
- ↑ The Collatz Conjecture | (amerikai angol nyelven). (Hozzáférés: 2023. július 16.)
- ↑ Thwaites, B. "Two Conjectures, or How to Win £1100." Math. Gaz. 80, 35-36, 1996.
- ↑ Conway, J. H. "Unpredictable Iterations." Proc. 1972 Number Th. Conf., University of Colorado, Boulder, Colorado, pp. 49-52, 1972.