Csebisev-csomópontok
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7a/Chebyshev-nodes-by-projection.svg/220px-Chebyshev-nodes-by-projection.svg.png)
A numerikus analízisben a Csebisev-csomópontok speciális valós algebrai számok, nevezetesen az elsőfajú Csebisev-polinomok gyökei. Ezeket gyakran használják csomópontként polinomiális interpolációban, mert a kapott interpolációs polinom minimalizálja a Runge-hatás mértékét.[2]
Meghatározás
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/68/Chebyshev_Zeros.svg/220px-Chebyshev_Zeros.svg.png)
Egy adott n pozitív egész számra a ( − 1, 1) intervallumon lévő Csebisev-csomópontok a következők:
Ezek az elsőfajú Csebisev-polinom n-ed fokú gyökei. Egy tetszőleges [ a, b ] intervallumon lévő csomópontoknál affin transzformáció használható:
Közelítés
A Csebisev-csomópontok fontosak a közelítéselméletben, mert különösen jó csomópontokat alkotnak a polinomiális interpolációhoz. Adott ƒ függvény intervallumon és n darab pont. Ezen az intervallumon, az interpolációs polinom az az egyedülálló legfeljebb -ed fokú polinom melynek minden ponton értéke van. Az interpolációs hiba a -re:
néhány (x-től függő) -ra a [−1,1] intervallumon.[3] Ezt minimalizáljuk
Ezen produs egy n fokú monic polinom. Kimutatható, hogy az ilyen polinomok maximális abszolút értéke alulról 21−n -től kötött. Ezt a kötést a 21−nTn skálázott Csebisev-polinomok érik el, amelyek szintén monikusak. (Emlékezzünk arra, hogy |Tn(x)|≤1 x ∈[−1,1] esetén. [4] Ezért, ha az xi interpolációs csomópontok a Tn gyökei, a hiba:
Egy tetszőleges [a, b] intervallum esetén a változó változása azt mutatja
Megjegyzések
- ↑ Lloyd N. Trefethen, Approximation Theory and Approximation Practice (SIAM, 2012).
- ↑ Fink, Kurtis D., and John H. Mathews.
- ↑ (Stewart 1996), (20.3)
- ↑ (Stewart 1996), Lecture 20, §14
Irodalom
- Stewart, Gilbert W. (1996), Afternotes on Numerical Analysis, SIAM, ISBN 978-0-89871-362-6.
További irodalom
- Burden, Richard L .; Faires, J. Douglas: Numerical Analysis, 8. kiadás, 503–512. ISBN 0-534-39200-8 .